2.2-算子和算子方程

2.2算子和算子方程2.2.1线性算子1.定义：设AD和AD都是线性函数集，且HDA，若元素AD经算子A映射得唯一的确定的元素AD，其映射关系为A并满足线性运算律(、为任意常数)2121)(AAA则称A为线性算子。其中：AD是A的定义域，AD是A的值域。若对于任意的AD，都有iiAAlim成立，则称A为线性连续算子。若对于任意的AD，都有CA(C为有限常数)成立，则称A为线性有界算子。可以证明：线性连续算子等价于线性有界算子。2.运算性质设A、B为线性算子，AD、BD分别为其定义域(1)算子的和——若BADD)()(ABBABA(2)算子的积——若BD，ADB)A(B)B(A)B(A(3)算子的逆——若)(AB，则1AB，1BA称A与B互为逆算子。)(1AA。3.线性算子方程：可分为两种类型：(1)设A是已知线性算子，若其值域中的已知点AD由定义域中相应未知点AD映射而得，即A则称之为确定性算子方程。由算子方程的运算性质：111)()(AAAAA确定性算子方程的求解任务：算子求逆运算。若1A存在，则解答是唯一的，1A连续，则解答是稳定的。(2)设A为已知线性算子，其值域等于定义域AADD，且(为待定常数)在值域中也是未知点，则A称为本征值算子方程。本征值算子方程的求解任务：①确定n所取的待定的值,2,1nn；②求出n所对应的解,2,1nn。2.2.2对称算子和正定算子1.对称算子定义1：设)()(),()(22ELDxVELDxUAA，则)(*)(,xEdxVUVUAA称为含算子的内积，也即是交集上的线性泛函。定义2：若函数集)(2ELD中的任何两个元素U和V所构成含算子的内积都满足VUVUAA,,则称A为D上的对称算子。定义3：若凡DU都有实数UU,A则A亦称为D上的对称算子。2.正定算子(1)定义：若凡)(2ELDU都有2,UaUUA(a为实数)称A为D上的下有界算子。当a=0时，称A为D上的非负算子。(2)定义：若凡)(2ELDU都有0UU,A则称A为D上的正算子。(3)定义：若凡)(2ELDU都有2,UkUUA(k为正数)则称A为D上的正定算子。由以上定义可知：正定算子正算子非负算子下有界算子对称算子线性算子。2.2.3自伴算子1.伴随算子定义：设A是H空间的线性连续算子，若存在B，使对于任何HVU、都有：VUVUBA,,则称B为A的伴随算子，记为A=B。2.自伴算子基于上面的定义，当B=A时，VUVUAA,,则称A为自伴算子，即AA。由上可知，自伴算子就是定义在H空间的对称算子。可以严格证明：凡自伴算子都能求逆，其逆算子亦为自伴算子。3.Lagrange意义下的自伴算子通常求解电磁场问题，所要求解的场函数既要满足算子方程，又要满足边界条件。这就是说：要求算子的自伴性，只要在符合边界条件的函数集HDb上是线性连续对称算子，就能保证方程存在唯一、稳定的解，这种线性连续自伴算子就是Lagrange意义下的自伴算子。限定算子自伴性的边界条件——自伴边界条件自伴边值问题。4.自伴边值问题(1)Poisson边值问题VSrrUnrUVrrfrUbb02)()()()(rfrUAA2(2)Helmholtz边值问题标量形式VSrrUnrUVrrfrUkbb022rfrUkAA22rUrUrfkAA022，，矢量形式VSrrunjrunVrrukbbb002若A，2k)()(ruruA(3)Fredholm边值问题第一类VrrfVrUrrGV,d第二类VVrrUVrUrrG,dVrrGVdArUrUrfrUAA