最优估计之线性连续系统卡尔曼滤波

最优估计第8章线性连续系统卡尔曼滤波离散系统取极限的推导方法卡尔曼滤波方程新息推导法线性连续系统滤波器的一般形式滤波的稳定性及误差分析•研究连续系统的必要性：实际的物理系统往往是连续的，故离散系统的描述不能完全代替连续时间系统。)()]([)()]([,0])()([0])()([0)]()([)()()]()([0)]([)()()]()([0)]([00000tPtxVarttxEtttvtxEtwtxEvtwEttRvtvEtvEttQwtwEtwExxTTTTT，，，噪声统计特性：•线性连续系统模型：)()()()()()()()()(tvtxtHtztwtGtxtAtx(8.1.1)•问题：最小的线性估计。使，状态估计求式，给定测量)](~)(~[)()1.1.8()()(0tXtXEPtXtttZTt48.1离散系统取极限的推导方法推导方法思想：当采样稠密或采样间隔趋于零时，取离散系统的极限，将离散系统的结果转化为连续系统的公式。•步骤1：建立(8.1.1)的等效离散线性系统数学描述•步骤2：求等效离散模型的卡尔曼滤波方程•步骤3：对离散卡尔曼滤波公式取极限时当0t推导方法步骤：•步骤1：建立(8.1.1)的等效离散线性系统数学描述)()()()()(),()(),()(ttvtxttHttztwttttxtttttxnn由5.3知，等效模型：tttttttAItttn)(G),()(),(其中，kjknnkjknntRVtVCovtQWtWCov)](),([)](),([tjttktt00,利用离散线性系统卡尔曼滤波方程(132页)及下列等效关系：tttRRttQQttKKtttPPttttPPtttPPttHHtxxtttttzztttttxxkkkkkkkkkkkkkkkkk)(,)()(),,(),(),,()(),(),(),(),(),(11|1|1|11,1,得等效离散线性系统的卡尔曼滤波方程：•步骤2：求等效离散模型的卡尔曼滤波方程)](ˆ),()()()[()(ˆ),()(ˆtxtttttHttzttKtxtttttx(8.1.3)1])()(),()()[(),()(tttRttHtttPttHttHtttPttKTT(8.1.4)),()(),(),(),(),(),(tttttQttttttttPttttttPTT(8.1.5)),()]()([),(tttPttHttKIttttP(8.1.6)•步骤3：对离散卡尔曼滤波公式取极限时当0t)(ˆ])()[()()()(ˆ])([)(ˆtxttAIttHttzttKtxttAIttx式，得：代入滤波方程将)3.1.8()(),(ttAItttn得：，并除以，将上式两端同减ttx)(ˆ)](ˆ])[()([)()(ˆ)()(ˆ)(ˆtxtAIttHttztttKtxtAttxttx---(8.1.8)最优滤波方程)](ˆ)()()[()(ˆ)()(ˆtxtHtztKtxtAtx取极限0t)(tK线性连续系统的卡尔曼滤波方程，是一个一阶微分方程。11)()(),()()(),()()(),()()(),()()(ttRtttHtttPttHttHtttPttttRttHtttPttHttHtttPtttKtKTTTT取极限0t)()()()(1tRtHtPtKT-----------增益矩阵-----------估计误差方差tttPttHttKtGtQtGtAttPttPtAtttPttttPTT),()()()]()()()(),(),()([),(),(，得：将其代入)16.8(ttGtQtGtAttPttPtAttPttGttQttGttAItttPttAItttPTTTT)]()()()(),(),()([),()()()(])()[,(])([),(式，得：代入，将)5.1.8()()()(),(ttGttttAItttn取极限0t)(),(),(lim0tPttPtttPt)()()()()()()()()()()()()(1tPtHtRtHtPtGtQtGtAtPtPtAtPTTT黎卡提微分方程：11线性连续系统卡尔曼滤波求解公式注：连续系统的卡尔曼滤波估计问题归结为求解微分方程问题；矩阵黎卡提微分方程很难求解。)()()()(1tRtHtPtKT滤波增益方程：)()()()()()()()()()()()()(1tPtHtRtHtPtFtQtFtAtPtPtAtPTTT滤波误差方差矩阵黎卡提方程：)](ˆ)()()[()(ˆ)()(ˆtxtHtztKtxtAtx最优滤波方程：12线性连续系统卡尔曼滤波方程13两点说明：是线性最小方差估计。即条件下的均值在是、ttttZtXEttXttZZtXtX00|)()|(ˆ,),()()(ˆ100)](ˆ)(~[)]()(~[0)](ˆ)(~[)]()(~[2tZtZEtZtZEtXtXEtZtXETTTT即也正交于估计量，，估计误差正交于测量量正交投影性质，由线性最小方差估计的、框图如下：线性连续系统)()()()()()()()()(tvtxtHtztwtGtxtAtx)(tG)(tx)(tv)(tw)(0txs1)(tH)(tA++++)(tz结构图如下：作用下的线性系统，其可视为一个滤波方程：)(~)()(~)()(ˆ)()(ˆtztKtztKtxtAtx)(tz+)(tA)(tK)(ˆ0tx)(tH)(ˆtx)(ˆtzs1+168.2卡尔曼滤波方程新息推导法•新息的性质：新息是一个与测量噪声有相同统计值的白噪声过程。)()()()()()()()()(tvtxtHtztwtGtxtAtx•系统模型：•新息：的新成份。新息中包含为新息过程。定义方差估计，最小得到的区间的在为由设)()(ˆ)()()(~)(~)()(ˆ00tztxtHtztztXZtttztxtt17推导过程•步骤1：构造估计量的函数形式dzttxtztxtt)(~),()(ˆ)(~)(ˆ0*的线性函数：是假定的最小方差估计。以得到，选择)(),(*txt)(),()()(),()](~)(~[),()](~)(ˆ[***00sRstdsRtdszzEtsztxEttTttT)](~)([)](~)(ˆ[sxtxEsztxETT估计与测量的正交性)()](~)([),(1*sRsztxEtTttTdzRztxEtx0)(~)()](~)([)(ˆ1•步骤2：对上述函数关于时间求导ttTTdzRztxEtztRtztxEtx0)(~)()}(~)({)(~)()](~)([)(ˆ11ttTttTdzRztwEtGdzRztxEtAtztK00)(~)()](~)([)()(~)()](~)([)()(~)(11)(~)()(ˆ)(tZtKtXtA)](ˆ)()()[()(ˆ)(tXtHtZtKtXtA)()()(ˆ)]()()([tZtKtXtHtKtA•步骤3：确定增益阵K(t))()](~)([)(1tRtztxEtKT)()()}()(~)(ˆ{)}()(~)(~{})]()(~)()][(ˆ)(~{[)}(~)({tHtPtHtxtxEtHtxtxEtvtxtHtxtxEtztxETTTTTTT)()()()(1tRtHtPtKT•步骤4：求P(t)的导数)](~)(~[)(txtxEtPT0)](ˆ)(~[)]()(~[0)](ˆ)(~[)]()(~[tztzEtztzEtxtxEtztxETTTT)()()()(1tRtHtPtKT)()()()()()()()()()()()()(1tGtQtGtPtHtRtHtPtAtPtPtAtPTTT与极限推导法的结果一致。)()()()()()()()()()()()()(1tGtQtGtPtHtRtHtPtAtPtPtAtPTTT21连续线性定常系统的卡尔曼滤波)()()()()()(tvtHxtztGwtAxtx若系统模型中的各参数为常数，即)()()()()()()()()()()()()(1tGtQtGtPtHtRtHtPtAtPtPtAtPTTT当估计过程达到稳态时，黎卡提微分方程中的与时间无关，其微分为零，则TTTGQGHPRPHPAAP101RHPKPT：差的稳态值，则增益为即为卡尔曼滤波误差方其解)](ˆ)([)(ˆ)(ˆtxHtzKtxAtx滤波方程为：例)()(01)()(10)(0010)(tvtxtztwtxtx二阶系统状态及观测方程：0001)]0(var[0)0()(2)]()(cov[)(4)]()(cov[0PxExtvtvtwtw，，噪声及初值：求卡尔曼滤波方程及增益、方差矩阵方程。00010)0(2)(4)(01)(10)(0010)(0PxtRtQtHtGtA，，，，，解由已知：10104)(0110)(210100)()(0010)(10)(21)()](ˆ]01[)()[()(ˆ0010)(ˆtPtPtPtPtPtPtKtxtztKtxtx由滤波公式，得：)()()()()()()()()()(2221121122211211tPtPtPtPtPtPtPtPtPtP，定义：)(214)()(21)()()(21)()(21)(2)()()()()(2121211221211222111222211211tPtPtPtPtPtPtPtPtPtPtPtPtPtP则：0)0()(214)(0)0()()()(21)()(1)0()(21)(2)(2221222122112112212112111211PtPtPPtPtPtPtPtPPtPtPtP，，，将上式展开，有：解此非线性联立微分方程组，求得方差P(t)后，得增益矩阵：)](ˆ]01[)([2)(2)()(ˆ0010)(ˆ1211txtztPtPtxtx2)(2)(01)()()()(21)(121122211211tPtPtPtPtPtPtK和滤波方程：258.3线性连续系统卡尔曼滤波器的一般形式•系统模型：)()()()()()()()()()()(tvtxtHtztwtGtutBtxtAtxw(t)和v(t)均为零均值白噪声过程，且)()()]()([)()()]()([)()()]()([