第4章习题解答

102第4章随机变量的数字特征和二维正态分布习题4.14.1某地区一个月内发生重大交通事故次数X的分布列为X012345P0.3010.3620.2180.0870.0260.006求该地区这个月内发生交通事故的月平均次数.解：00.301+10.362+20.218+30.087+40.026+50.006=1.193EX4.2设离散型随机变量X的分布列为X0149P0.1xy0．4且5EX，求x与y.解：因为离散型随机变量X的分布列满足正则性，有0.10.41xy，即0.5xy.00.1+1+4+90.4=5EXxy，即+4=1.4xy解得0.2x，=0.3y.4.3已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品．从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，试求乙箱中次品数X的数学期望.解因为乙箱中仅装有3件合格品，从甲箱中任取3件产品放入乙箱，故乙箱中次品数X取决于从甲箱中任取的3件产品有几件次品．X的所有可能取值为0，1，2，3，则X的分布律为33336kkCCPXkC，0,1,2,3k，列成表格为0123199120202020XP所以数学期望为199130123202020202EX．1034.4某工厂生产的一种设备的寿命(以年计)服从指数分布(4)E,工厂规定，出售的设备若在售出一年内损坏可以调换.若工厂售出一台设备可盈利100元，调换一台设备需花费300元，求工厂出售一台设备净盈利Y的数学期望.解:一台设备在一年内损坏的概率为411041041141)1(eedxeXPxx在一年内没有损坏的概率为.)1(1)1(1)1(4141eeXPXP设Y表示出售一台设备的净赢利则(300100)200,1,()100,1.XYfXX故14()(200)(1)100(1)30020033.64EYPXPXe.4.5已知随机变量10~()220xxXfx其它cos，，，.对X独立重复观察4次，Y表示观察值大于/3的次数，求EY.解因为事件“观察值大于/3”可用{}3X表示,从而311()cos3222xpPXdx显然，1~4,2YB，于是1422EY.4.6某新产品在未来市场上的占有率34(1)01~()0xxXfx其它，，，.求该产品的平均市场占有率.解该产品的平均市场占有率就是EX.1301()d4(1)d5EXxfxxxxx.4.7已知随机变量201~()0abxxXfx其它，，，.且35EX，试求a和b的值.解：由概率密度的正则性有120()()13bfxdxabxdxa，104对于随机变量X已知35EX，因此1203()()245abEXxfxdxxabxdx，由此得关于未知系数a和b的方程组．，131533121baba解得5653ba，．4.8设随机变量X的分布列为1((1))PXkkk，1,2,,k求.EX解111111||()(1)1kkkkkkxpkPXkkkkk因为该级数发散，即级数1||kkkxp发散，所以级数1kkkxp不是绝对收敛的，由数学期望的定义，EX不存在.习题4.24.9.设随机变量X的分布列为X-10123p0.10.20.20.30.2求:(1)EX；(2)2EX；(3)|21|EX.解(1)(1)0.1+00.2+10.2+20.3+30.2=1.3EX.(2)222222(1)0.1+00.2+10.2+20.3+30.2=3.3EX.(3)|21|EX|2(1)1|0.1+|201|0.2+|211|0.2+|221|0.3+|231|0.2=2.6.4.10.设,XY的联合分布列为XY01210.20.10.420.10.20105求:(1)EX，EY；(2)()EXY；(3)min(,)EXY.解(1)10.210.110.420.120.2201.3iijijEXxp=,00.200.110.110.220.4201.1jijijEYyp=,(2)EXYiijijxp100.2110.1120.4+200.1210.22201.3.(3)min(,)min(,)ijijijEXYxypmin(1,0)0.2min(1,1)0.1min(1,2)0.4+min(2,0)0.1min(2,1)0.2min(2,2)000.210.110.4+00.110.2200.7.4.11设随机变量23,02,~()80,xxXfx其它.求21/X的数学期望.解：22222011133()().84xEfxdxdxXxx4.12设随机变量,01,~()2,12xxXfxxx其它，0,.求||EXEX.解12201()dd(2)d1EXxfxxxxxxx|||1||1|()dEXEXEXxfxx1201|1|d|1|(2)dxxxxxx12011(1)d(1)(2)d3xxxxxx.4.13若二维随机变量212,01,(,)~(,)0,yyxXYfxy其它.求(1)EX，EY；(2)()EXY；(3)22()EXY.解：各数学期望均可按[(,)](,)(,)ddEhXYhxyfxyxy计算.因为(,)fxy在区域{(,)|01}Gxyyx内不为零,故各数学期望均化为G(如图)上相应积分的计算.(1)12004(,)ddd12d5xEXxfxyxyxxyy，10612003(,)ddd12d5xEYyfxyxyxyyy.(2)12001()(,)ddd12d2xEXYxyfxyxyxxyyy.(3)122222220016()()(,)ddd()12d15xEXYxyfxyxyxxyyy.4.14.设),(YX服从在A上的均匀分布，其中A为x轴，y轴及直线01yx所围成的区域.求:（1）)(XE；（2）)23(YXE；（3）)(XYE.解:如图,A的面积为12,则),(YX的联合概率密度为2,10,10,,0,xyfxy其它.(1)0011(,)ddd2d1EXxfxyxyxxy.(2)0011(,)ddd2d1EYyfxyxyxyy,(32)321EXYEXEY.(3)00111()(,)ddd2d2EXYxyfxyxyxxyy.4.15．设随机变量X与Y同分布，概率密度为212,00,xxfx其他，且12EaXY，则a的值为（A）12．（B）13．（C）212．（D）23．解:1202()d2d3EXxfxxxxx.因为随机变量X与Y同分布,所以EXEY.于是x4．13图解OGyA4.14图解10722122233EaXYaEXEYa,解得12a.4.16某车间生产的圆盘直径在区间[,]ab上服从均匀分布，求圆盘面积的数学期望.解：设X为圆盘的直径，则其概率密度为.,0),(,1)(其它baxabxf用Y表示圆盘的面积，则从而,412XπY33222211()()().444()312babaEYxfxdxxdxaabbbaba4.17.游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行，假设一游客在早上八点的第X分钟到达底层候梯处，且X在[0，60]上服从均匀分布，试求该游客等候时间的数学期望．解X的概率密度为1,060,()600,Xxfx其他.设Y表示游客等候的时间，则5,055,05,25,52525,525,55,255555,2555,605,556065,5560.XXXXXXXXYXXXXXXXX注意，这里YgX，且5,05,25,525,55,2555,65,5560.xxxxgxxxxx由随机变量的函数的期望公式，得Y的数学期望为6001dd60XEYEgXgxfxxgxx525556005255515d25d55d65d11.6760xxxxxxxx．4.18.一个醉汉用n把钥匙去开门，每把钥匙经试开一次后除去，求试开次数X的数108学期望(假设恰有一把钥匙能打开门).解:设,0,iiiiX第次试开能开门,第次试开不能开门.(1,2,,)in,则试开次数为niiXX1.又12111innPXinnnin，1011iiPXPXin，因此0iiiiEXiPXiPXin，所以1112nniiiinEXEXn.习题4.34.19设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为0.4，则2()EX(A)18.4.(B)24.(C)16.(D)12.解:由题意知,(10,0.4)XB,则100.44EX,100.4(10.6)2.4DX.由于22()DXEXEX,因此222()2.4418.4EXDXEX.4.20设随机变量X服从泊松分布()P，且122EXX，则(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.解:由于()XP,得EX,DX.又22()DXEXEX,因此222()EXDXEX.于是22212(32)32()322EXXEXXEXEX,即220,又因为泊松分布()P的参数0,所以2.4.21设随机变量1X,2X,3X相互独立，其中1X服从均匀分布(0,6)U，2X服从正态分布20,2N，3X服从泊松分布(3)P，记12323YXXX，则EY和DY分别等于109(A)12,46EYDY.(B)12,4EYDY.(C)9,4EYDY.(D)9,46EYDY.解:由1(0,6)XU,得13EX,13DX.由220,2XN,得20EX,24DX.由3(3)XP,得33EX,33DX.由1X,2X,3X相互独立,于是有123123(23)2312EYEXXXEXEXEX,123123(23)4946DYDXXXDXDXDX.4.22从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各交通岗是否遇到红灯是相互独立的，其概率均为0.4，求途中遇到红灯次数的方差.解由题意,途中遇到红灯次数X服从二项分布23,5B，其分布律为3322155kkkPXkC，0,1,2,3k．因此X的方差0.72DX．4.23