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一道高考题的解析引发的深思(2013全国新课标I卷)理科15,文科16题。题目:设当x时,函数xxxfcos2sin)(取得最大值,则_____cos法一:直接使用辅助角公式解:)cos52sin51(5cos2sin)(xxxxxf取52sin,51cos(三角替换,辅助角公式中由来)即)sin(5)(xxfx时,函数值最大1)sin(,,即Zkk,22-(找到与的关系)所以55252sin)22cos(cosk此法少见的接触到了辅助角求值问题法二:借用辅助角公式(避开辅助角)解:)sin(5)(xxf(求最值)5)(maxxf当x时,函数求得最大值5cos2sin)(f联立1cossin22,解方程组消正弦得,1cos)cos25(22即04cos54cos52解得552cos思考:此刻你在想什么呢?庆幸解唯一,还是当心解不唯一怎么处理呢?能不能一开始就可以确定角的位置呢?观察函数,正弦应该取正,而余弦取负才可能有最大值,满足此要求的角在第二象限,是不是免去你的后照顾之忧呢。法三:利用判别式——————(尴尬!!!!汗颜!!!!!)解:令xxycos2sin则xyxcos2sin消正弦带入1cossin22xx得1cos)cos222xxy(化简得01cos4cos522yxyx(将余弦视作一个整体,这是一元二次方程)有解得0)1(54)4(22yy即有55y,函数最大值是5(为么要这么费劲呢?)所以y取最大值5时,有04cos54cos52xx(明白了吗)cos552cosx解得法四:数形结合为了运算的简洁,令xxmcos2sin再联想到1cossin22xx可以试试寻找几何意义1sincoscos2sin22xxmxx如果按照一般习惯将正弦视作纵坐标,余弦视作横坐标即1222yxmxy联立表示要相交!求直线的最大纵截距(相切时最大或最小如图)5.0tanAOB,运用几何知识A点坐标为),(55552-横坐标为余弦,即552cos法五:不等式法解:)cos2sin1cos2sin)(xxxxxf(若函数值最大,则正弦为正,余弦为负使用柯西不等式有5)21()cossin)cos2sin12222xxx((所以5)(xf当且仅当xxcossin2取到等号。即cossin2又因为5cos2sin)(f解得552cos法六:求导法解:因为xxxfsin2cos)('(让同学们自己思考)
本文标题:高考三角函数一题多解
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