分数阶微积分鲁棒控制

分数阶微积分鲁棒控制目录一.分数阶微积分定义和数值求解方法二.分数阶系统的时域和频域分析方法三.分数阶系统的整数接近似算法四.分数阶PID控制器设计一.分数阶微积分定义和数值求解方法1.1分数阶微积分定义在控制领域应用较多的三种分数阶微积分定义包括：定义、Riemann-Liouville定义、Caputo定义。..GrunwaldLetnikov..GrunwaldLetnikov1.1.1定义：对于任意的，函数的阶微积分为()ft[]00()lim(1)()tahjathjDfthftjhj(1)...(1)!!!()!jjjjj式中，一.分数阶微积分定义和数值求解方法当时，表示f(t)的阶导数；当时，表示f(t)的次积分。若满足，则有性质00()()0,(0,1,...,1)kfakj(),()pqatatDftDft(())(())(),qppqpqatatatatatDDftDDftDft1.1.2Riemann-Liouville定义对于任意的实数，分数阶微分的RL定义为1,nnnN11()()()()()tnatnadfdDftndtt1,()nn其中为Gamma函数。分数阶积分的RL定义为11()(),0,()()tatafdIfttRt一.分数阶微积分定义和数值求解方法将分数阶微分和积分的RL定义统一到一个表达式中，则有分数阶微积分RL定义为11()()()()()tnatnadfdDftdndttRiemann-Liouville定义在数学上的要求比较苛刻，不仅需要函数是连续的，还需要满足f(t)可积。尽管在工程实际应用中，可以保证系统函数的连续性和f(t)可积的条件，但是，由于Riemann-Liouville定义还需要解决一个理论上可实现、实际上缺乏物理意义的初始值问题，因而它在应用上受到了一定限制。一.分数阶微积分定义和数值求解方法1.1.3Caputo定义Caputo分数阶微分定义为(1)1()()(1)()mtatafDftdtmm其中，取整数，01Caputo分数阶积分定义为11()()()()tatafDftdtCaputo分数阶积分统一定义为()11()()()()mtatmafDftdmt一.分数阶微积分定义和数值求解方法1.1.3Caputo定义进一步证明发现，在t0时，如果考虑一类函数，它具有m+1阶连续的导数，那么，分数阶微积分定义与Riemann-Liouville分数阶微积分定义是完全相等的。Caputo定义和Riemann-Liouville定义的区别主要在于对常数求导的定义上，前者对常数的求导是有界的，而后者对常数的求导是无界的。Caputo定义则更适合于对分数阶微积分初值问题的求解。一.分数阶微积分定义和数值求解方法1.2分数阶微积分数值求解方法分数阶控制器参数整定的数值化实现方法主要依赖于目标函数的数值计算。这里介绍一种Z域数值法。Z域数值法主要用于理论仿真和实验研究。目前，针对分数阶微积分环节的Z域数值法主要包括Eider,Tustin,Simpson及Alalaoui方法，不同的生成函数和展开方法决定了逼近形式及效果.PID（1）基于Tustin+CFE法求解分数阶微积分环节采用Tustin型生成函数对分数阶微积分算子进行离散化处理是常用的一种方法，此时分数阶微积分算子可表达为:一.分数阶微积分定义和数值求解方法1.2分数阶微积分数值求解方法11002112(1)(1)(1)[](1)(1)(1)(1)jNkkkjZDTZZTjjkjjk它把s平面的稳定域充分地映射到z平面，且把点和分别映射到点和。可以采用连分式展开法(CFE)，对其进行有理化处理。当将Tustin型生成函数与CFE展开方法结合时，分数阶微积分算子的离散化近似形式为:0ss1z1z122111121221;;1211niziDiTzTzz一.分数阶微积分定义和数值求解方法1.2分数阶微积分数值求解方法（2）基于Al-Alaoui+CFE法求解分数阶微积分环节采用Al-Alaoui型生成函数对分数阶微积分进行离散化处理，其分数阶微积分算子表达式为:11181()71/7zzTz当Al-Alaoui型生成函数与CFE法结合时，分数阶算子的离散化近似形式为:1111,()818()717()pqpqPzzDzCFETzTQz其中，CFE{u}表示对函数。进行连分式展开，P和Q是变量z的多项式，其阶次分别为p和q。一.分数阶微积分定义和数值求解方法1.2分数阶微积分数值求解方法（3）有限脉冲响应不变法求解分数阶微积分环节分数阶微积分算子的一阶向后差分的展开为：s..GrunwaldLetnikov1011(1)(1)(1)(1)NiiiZDZTTii分数阶微积分算子的一阶向后差分的连分式（CFE）：s11111()()111(21)22(21)0;;;,1111niiiiizzZziiiiDTT二.分数阶系统的时域和频域分析方法2.1分数阶频域分析常规PID有三个可调参量，分数阶控制器是有五参量调节的控制器，参量调节上增加了取值具有任意性的微积分阶次自由度和，这样极大拓宽了控制器参数的整定思路，对于被控模型的调节度来说就更敏锐和自由。图2-1所示的框图代表负反馈结构的分数阶系统。DPI比例积分P(s)r(t)e(t)u(t)y(t)FOPID控制器微分pKdKsiKs图2-1负反馈结构的分数阶系统DPIsKsKKsEsUsGdspfc)()()(控制器的描述为：二.分数阶系统的时域和频域分析方法2.1.1常数增益项常数项K的幅频特性：)(log2010dBK常数其相频特性为：0)(常数增益项的Bode图如图2.2所示，常数项的对数增益曲线是一条水平线，相频特性曲线也是一条水平线（0°线），即常数项为-K时，其对数增益仍为，而相角则变成了。1020logK20lgKdB404020200)(904545900图2.2幅频特性，Glg20图2.2相频特性，)(二.分数阶系统的时域和频域分析方法2.1.2分数阶积分项传递函数表达式：频率域表达式：对数增益表达式：对数相频特性表达式：ssG1)()2sin2(cos)(1)(jjjG10log20)(L2)(对数增益表达式在波特图上的直观表现就是斜率为，而相频曲线则是直的水平线。由自控理论知，在对数幅值增益图中，截止频率越高，系统的响应速度越快；基于以上的理论，如果选择的值恰好是0-1间的数，分数阶积分项的斜率就完全可以满足小于的斜率要求，这样相应的截止频率就会变大，中频段相应地就会变宽，系统在快速性和稳定性方面的性能就会超过采用常规的积分控制器。dec/dB2020dB/dec二.分数阶系统的时域和频域分析方法借助工具编写语句命令，得到分数阶积分项的波特图，如图所示。从图可以看出，幅频特性居于比例环节与积分环节特性之间，且值越小，系统的响应速度越快，稳定性越好2.1.2分数阶积分项-80-60-40-2002040Magnitude(dB)s.-1s.-0.9s.-0.3s.-0.1510-210-1100101102103104-90-450Phase(deg)s.-0.15s.-0.6s.-1BodeDiagramFrequency(rad/sec)s.-0.15s.-0.3s.-0.45s.-0.6s.-0.75s.-0.9s.-1图2-3的波特图s1二.分数阶系统的时域和频域分析方法2.1.3分数阶微分项传递函数表达式：频率域表达式：对数增益表达式：对数相频特性表达式：11,)(ssG)2sin2(cos)()(jjjG10log20)(L2)(反映于波特图，对数增益曲线是以为斜率的直线，而相频特性曲线仍是一条直的水平线。根据整数阶控制知识，误差是输入与输出的差值，微分项的主要作用是反映这个差值的变化率，且它的相角超前，可以在系统产生一个前期的修正，这个修正就是变化率，能够实现增强稳定度和改善动态性能的目的。二.分数阶系统的时域和频域分析方法现实的很多系统，仅仅依靠的相角超前，不能很好地达到所需的阻尼度，并且很有可能使系统动态性能不好。相比于传统的基本微分项，分数阶能够参照系统本身具有的形式来选择所需的值.进一步地取得所需的超前校正网络的角度，最终实现良好的动态指标。借助MATLAB工具编写语句命令，得到分数阶微分环节波特图，如图所示。2.1.3分数阶微分项-40-20020406080Magnitude(dB)s.0.3s.0.9s10-210-110010110210310404590Phase(deg)s.0.15s.0.6s.1BodeDiagramFrequency(rad/sec)s.0.15s.0.3s.0.45s.0.6s.0.75s.0.9s.1s.0.15图2-4的波特图s二.分数阶系统的时域和频域分析方法2.1.3分数阶比例积分微分项根据分数阶控制器的传递函数，利用MATLAB软件绘制了在值不变、值改变时和值不变、值改变时的波特图，分别如图2-5和图2-6所示。020406080Magnitude(dB)10-210-1100101102103104-90-4504590Phase(deg)BodeDiagramFrequency(rad/sec)=1,=0.15=1,=0.3=1,=0.45=1,=0.6=1,=0.75=1,=0.9=1,=1=1,=0.15=1,=1=1,=0.15=1,=1图2-5和的情况020406080Magnitude(dB)10-410-2100102104-90-4504590Phase(deg)BodeDiagramFrequency(rad/sec)=1.=0.15=1.=0.3=1.=0.45=1.=0.6=1.=0.75=1.=0.9=1.=1=1.=1=1.=0.15=1.=0.15=1.=110.151图2-6和的情况10.151二.分数阶系统的时域和频域分析方法2.1.3分数阶比例积分微分项分数阶控制器的独特的不可替代性，关键在于可以根据系统自己本身的特点选择恰当的值和值，这样就保证微分环节能提供适当的超前相角，积分环节能提供适当的滞后相角。从而使系统保持良好响应特性的条件同时还能保证稳定性，继而得到预期的调节效果。DPI二.分数阶系统的时域和频域分析方法2.2分数阶时域分析整数阶微积分的拉式变换是一种函数变换，可将微分方程变成代数方程，并且在变换的同时即引入初始条件，避免了经典解法关于求积分常数的麻烦，大大简化解题手续。可以说，求解工程实践问题采用拉式求解法是非常有效的，受到学者的亲睐。下面具体论述分数阶拉式变换及其相关理论。二.分数阶系统的时域和频域分析方法2.2.1Lapla