坐标系及直角坐标与极坐标间的互化

选修4-4坐标系与参数方程知识点新课程标准的要求层次要求领域目标要求坐标系1.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况2.能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化3.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义通过极坐标的学习,使学生能够求出平面点的极坐标,掌握极坐标与直角坐标间的互化、极坐标方程的应用等.通过学习参数方程使学生了解参数方程的意义,掌握直线的参数方程及其应用,掌握圆锥曲线的参数方程及其应用,了解一些特殊曲线的产生等参数方程1.了解参数方程,了解参数的意义2.能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程坐标系及直角坐标与极坐标间的互化1.通过实例了解平面直角坐标系的建立与应用,掌握直角坐标系中的伸缩变换,并灵活地进行变换.2.通过实例了解极坐标系的建立,会用极坐标表示极坐标系内的点,掌握极坐标的应用.3.理解极坐标与直角坐标间的相互转化,掌握转化公式,并运用公式实现极坐标与直角坐标间的相互转化.为了得到函数y=2sin2x的图象,需把函数y=sinx的图象进行怎样的变换?问题1y轴伸长到原来的2倍平面直角坐标系中坐标伸缩变换的定义,设点P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,在变换𝛗:的作用下,点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),称𝛗为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.问题2对上述函数图象进行伸缩变换,即先把函数y=sinx的图象上所有的点沿着,再沿着,即可得到函数y=2sin2x的图象.x轴缩短到原来的一半𝐱′=𝛌·𝐱(𝛌0)𝐲′=𝛍·𝐲(𝛍0)在平面内取一个定点O,叫作极点;自极点O引一条射线Ox,叫作;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其(通常取方向),这样就建立了一个.对于平面内任意一点M,用ρ表示点M到极点O的距离,用θ表示以Ox为始边,以OM为终边的角度,其中ρ叫作,θ叫作,有序数对(ρ,θ)就叫作点M的,记为.问题3极轴逆时针极坐标系极径极角极坐标M(ρ,θ)极坐标系是如何建立的?点M的极坐标是如何定义的?正方向问题4𝐱=𝛒𝐜𝐨𝐬𝛉,𝐲=𝛒𝐬𝐢𝐧𝛉𝛒𝟐=𝐱𝟐+𝐲𝟐,𝐭𝐚𝐧𝛉=𝐲𝐱(𝐱≠𝟎)直角坐标与极坐标如何互化?将点M的极坐标(ρ,θ)化为直角坐标(x,y)的关系式为;将点M的直角坐标(x,y)化为极坐标(ρ,θ)的关系式为.1B直角坐标P(10,5)按照伸缩变换公式𝐱'=𝟏𝟐𝐱,𝐲'=𝟐𝐲变换后的坐标是().A.P'(10,10)B.P'(5,10)C.P'(10,-5)D.P'(5,5)【解析】由𝐱'=𝟏𝟐×𝟏𝟎,𝐲'=𝟐×𝟓,得𝐱'=𝟓,𝐲'=𝟏𝟎.将点P(-2,2)变换为P'(-6,1)的伸缩变换公式为().A.𝐱'=𝟏𝟑𝐱,𝐲'=𝟐𝐲B.𝐱'=𝟏𝟐𝐱,𝐲'=𝟑𝐲C.𝐱'=𝟑𝐱,𝐲'=𝟏𝟐𝐲D.𝐱'=𝟑𝐱,𝐲'=𝟐𝐲2C【解析】设伸缩变换为𝐱'=𝐡𝐱(𝐡𝟎),𝐲'=𝐤𝐱(𝐤𝟎),由-𝟔=-𝟐𝐡,𝟏=𝟐𝐤,得𝐡=𝟑,𝐤=𝟏𝟐,即𝐱'=𝟑𝐱,𝐲'=𝟏𝟐𝐲.3点P的直角坐标为(-𝟐,𝟐),那么它的极坐标可表示为.【解析】直接利用极坐标与直角坐标的互化公式ρ=(-𝟐)𝟐+(𝟐)𝟐=2,tanθ=-1.因为点P在第二象限,所以取一个极角为𝟑𝛑𝟒.(2,𝟑𝛑𝟒)4在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换𝐱'=𝟏𝟐𝐱,𝐲'=𝟏𝟑𝐲后,曲线C:x2+y2=36变为何种曲线,其曲线方程是什么?【解析】设圆x2+y2=36上任一点P(x,y),伸缩变换后对应的点的坐标P'(x',y'),则𝐱=𝟐𝐱',𝐲=𝟑𝐲',代入圆中得4x'2+9y'2=36,即𝐱'𝟐𝟗+𝐲'𝟐𝟒=1.故曲线C在伸缩变换后得到椭圆曲线,曲线方程为𝐱𝟐𝟗+𝐲𝟐𝟒=1.图形的伸缩变换求满足由曲线2x2-3y2=12变成曲线x2-y2=1的图形变换的伸缩变换.【解析】设变换为𝐱'=𝛌𝐱,𝐲'=𝛍𝐲(λ0,μ0),将其代入第二个方程,得到(λx)2-(μy)2=1,再由2x2-3y2=12,得到𝐱𝟐𝟔-𝐲𝟐𝟒=1,所以λ2=𝟏𝟔,μ2=𝟏𝟒,因为λ0,μ0,所以λ=𝟔𝟔,μ=𝟏𝟐,所以伸缩变换为𝐱'=𝟔𝟔𝐱,𝐲'=𝟏𝟐𝐲.7极坐标已知极坐标系中点A(2,𝛑𝟐),B(𝟐,𝟑𝛑𝟒),O(0,0),则△AOB为().A.等边三角形B.顶角为钝角的等腰三角形C.顶角为锐角的等腰三角形D.等腰直角三角形【解析】根据x=ρcosθ,y=ρsinθ,将点A、B、O化成直角坐标分别为A(0,2)、B(-1,1)、O(0,0),可以看出△AOB是以∠OBA为直角的等腰直角三角形,故选D.D极坐标与直角坐标间的互化在极坐标系中,点P(2,𝛑𝟑)和点Q(4,𝟓𝛑𝟔)之间的距离为.【解析】(法一)用公式𝐱=𝛒𝐜𝐨𝐬𝛉,𝐲=𝛒𝐬𝐢𝐧𝛉,把点P(2,𝛑𝟑)和点Q(4,𝟓𝛑𝟔)化为直角坐标分别为P(1,𝟑),Q(-2𝟑,2),由两点间的距离公式得|PQ|=(𝟏+𝟐𝟑)𝟐+(𝟑-𝟐)𝟐=2𝟓.2𝟓(法二)在极坐标系中,已知点P(2,𝛑𝟑)和点Q(4,𝟓𝛑𝟔),故∠POQ=𝛑𝟐,所以|PQ|=𝟐𝟐+𝟒𝟐=2𝟓.1.在极坐标系中,若点A,B的坐标分别是(2,𝛑𝟑)和(3,-𝛑𝟔),则△AOB为().A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形B【解析】由题意知∠AOB=𝛑𝟑-(-𝛑𝟔)=𝛑𝟐,故选B.2.将极坐标(6,𝟒𝛑𝟑)化为直角坐标为().A.(-3𝟑,3)B.(-3𝟑,-3)C.(-3,-3𝟑)D.(-3,3𝟑)C【解析】由公式𝐱=𝛒𝐜𝐨𝐬𝛉,𝐲=𝛒𝐬𝐢𝐧𝛉,得𝐱=𝟔×(-𝟏𝟐)=-𝟑,𝐲=𝟔×(-𝟑𝟐)=-𝟑𝟑,所以直角坐标为(-3,-3𝟑),选择C.33.在极坐标系中,已知两点A,B的极坐标分别为(3,𝛑𝟑),(4,𝛑𝟔),则△AOB(其中O为极点)的面积为.【解析】结合图形,△AOB的面积S=𝟏𝟐OA·OB·sin(𝛑𝟑-𝛑𝟔)=3.4.在极坐标系中,已知三点M(2,𝟓𝛑𝟑),N(2,0),P(2𝟑,𝛑𝟔).(1)将M、N、P三点的极坐标化为直角坐标;(2)判断M、N、P三点是否在一条直线上.【解析】(1)将三点坐标代入公式𝐱=𝛒𝐜𝐨𝐬𝛉,𝐲=𝛒𝐬𝐢𝐧𝛉,可知点M的直线坐标为(1,-𝟑),点N的直角坐标为(2,0),点P的直角坐标为(3,𝟑).(2)∵kMN=𝟑𝟐-𝟏=𝟑,kNP=𝟑-𝟎𝟑-𝟐=𝟑∴kMN=kNP,∴M、N、P三点在同一条直线上.1、求把椭圆𝐱𝟐𝟒+𝐲𝟐𝟏𝟔=1变换成圆x2+y2=64的伸缩变换.【解析】设变换为𝐱'=𝛌𝐱,𝐲'=𝛍𝐲(λ0,μ0),将其代入第二个方程,得到(λx)2+(μy)2=64,即𝛌𝟐𝐱𝟐𝟔𝟒+𝛍𝟐𝐲𝟐𝟔𝟒=1,对照椭圆𝐱𝟐𝟒+𝐲𝟐𝟏𝟔=1,得𝛌𝟐𝟔𝟒=𝟏𝟒,𝛍𝟐𝟔𝟒=𝟏𝟏𝟔,解得𝛌=𝟒,𝛍=𝟐.故所求的伸缩变换为𝐱'=𝟒𝐱,𝐲'=𝟐𝐲.2、极坐标平面内两点P(4,𝟑𝛑𝟐)、Q(ρ,-𝛑𝟒)之间的距离为𝟏𝟎,则ρ=.【解析】根据x=ρcosθ,y=ρsinθ,得P、Q的直角坐标分别为P(0,-4)、Q(𝟐𝟐ρ,-𝟐𝟐ρ).∴|PQ|=(𝟎-𝟐𝟐𝛒)𝟐+(-𝟒+𝟐𝟐𝛒)𝟐=𝟏𝟎,解得ρ=𝟐或ρ=3𝟐.𝟐或3𝟐3、在极坐标系中,已知△ABC的三个顶点的极坐标分别为A(2,𝛑𝟑),B(2,π),C(2,𝟓𝛑𝟑).(1)判断△ABC的形状;(2)求△ABC的面积.【解析】(1)将A(2,𝛑𝟑),B(2,π),C(2,𝟓𝛑𝟑)分别化为直角坐标得A(1,𝟑),B(-2,0),C(1,-𝟑),∴|AB|=|AC|=|BC|=2𝟑,∴△ABC为正三角形.(2)由上可知△ABC的面积为S=𝟏𝟐×2𝟑×2𝟑×𝟑𝟐=3𝟑.4、求将椭圆变成长轴为12，离心率为的椭圆的伸缩变换。22143xy12