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小学奥数试题集与答案称球问题[专题介绍]称球问题是一类传统的趣味数学问题,它锻炼着一代又一代人的智力,历久不衰。下面几道称球趣题,请你先仔细考虑一番,然后再阅读解答,想来你一定会有所收获。[经典例题]例1有4堆外表上一样的球,每堆4个。已知其中三堆是正品、一堆是次品,正品球每个重10克,次品球每个重11克,请你用天平只称一次,把是次品的那堆找出来。解:依次从第一、二、三、四堆球中,各取1、2、3、4个球,这10个球一起放到天平上去称,总重量比100克多几克,第几堆就是次品球。例2有27个外表上一样的球,其中只有一个是次品,重量比正品轻,请你用天平只称三次(不用砝码),把次品球找出来。解:第一次:把27个球分为三堆,每堆9个,取其中两堆分别放在天平的两个盘上。若天平不平衡,可找到较轻的一堆;若天平平衡,则剩下来称的一堆必定较轻,次品必在较轻的一堆中。第二次:把第一次判定为较轻的一堆又分成三堆,每堆3个球,按上法称其中两堆,又可找出次品在其中较轻的那一堆。第三次:从第二次找出的较轻的一堆3个球中取出2个称一次,若天平不平衡,则较轻的就是次品,若天平平衡,则剩下一个未称的就是次品。例3把10个外表上一样的球,其中只有一个是次品,请你用天平只称三次,把次品找出来。解:把10个球分成3个、3个、3个、1个四组,将四组球及其重量分别用A、B、C、D表示。把A、B两组分别放在天平的两个盘上去称,则(1)若A=B,则A、B中都是正品,再称B、C。如B=C,显然D中的那个球是次品;如B>C,则次品在C中且次品比正品轻,再在C中取出2个球来称,便可得出结论。如B<C,仿照B>C的情况也可得出结论。(2)若A>B,则C、D中都是正品,再称B、C,则有B=C,或B<C(B>C不可能,为什么?)如B=C,则次品在A中且次品比正品重,再在A中取出2个球来称,便可得出结论;如B<C,仿前也可得出结论。(3)若A<B,类似于A>B的情况,可分析得出结论。练习有12个外表上一样的球,其中只有一个是次品,用天平只称三次,你能找出次品吗?小朋友们,你听过“江南四大才子”之一祝枝山的故事吗?他写得一手好字。有一次过年,一个人请祝枝山写了一张条幅:“今年正好晦气全无财帛进门。”主人一看:“今年正好晦气,全无财帛进门。”差一点气昏过去,大骂祝枝山是个“大混蛋”。祝枝山不慌不忙,笑嘻嘻地说:“你听我念:‘今年正好,晦气全无,财帛进门。’这是多么好的好彩。”主人一听,马上转怒为喜。古人的断句,体现了标点符号的作用。数学中的运算符号也能发挥类似的作用。第十四讲填符号组算式例【1】在下面4个4中间,添上适当的运算符号+、-、×、÷和(),组成3个不同的算式,使得数都是2。4444=24444=24444=2分析由题意,可以在4之间添加运算符号和括号,而题中没有一个运算符号,而只能采用逐一试验的方法,找到正确答案。解如果在第1个4后面添+号,后3个4不能得到2;如果第1个4后面是一号,4-2=2,很容易想到:(4+4)÷4=2。所以4-(4+4)÷4=2。如果第1个4后面是×号,4×4=16,由于16÷8=2。容易想到:4×4÷(4+4)=2。如果第1个4后面是÷号,4÷4=1,由于1+1=2,容易得到:4÷4+4÷4=2。例【2】在批改作业时,张老师发现小明抄题时丢了括号,但结果是正确的。请你给小明的算式添上括号:典型例题4+28÷4-2×3-1=4分析根据题意,错误的算式是丢了括号。只能按先乘除,再加减的运算顺序来计算。因此括号添在乘除法的两侧是毫无意义的,所添的括号要能够改变运算顺序。所以,括号应添在含有加减运算的两边。解从左往右看,在4+28两侧试添括号,计算得32,再除以4得8。小明的算式就变为8-2×3-1=4。如果把括号加在8-2的两侧,计算结果大于4,只能把括号加在3-1的两侧。很容易得到:8-2×(3-1)=4。正确的算式应为:(4+28)÷4-2×(3-1)=4例【3】在下面的数字之间添上运算符号,使等式成立。123456789=6分析由题意,有8个地方要添运算符号,用逐一试验的方法很难找到答案。分析写成的结果,由于60=2×30=3×20=4×15=5×12=6×10,因此可以把算式中的数分成两个部分,使两个部分的乘积等于60。在分的过程中,应先考虑较大的数,再考虑较小的数。解把7□8□9分成一组,在它们之间添加号和减号,可得7+8-9=6。剩下的1□2□3□4□5□6为一组,添上运算符号,结果要得10。再看较大的数4□5□6,可得4+5-6=3。于是得到1+2×3+4+5-6=10。所以正确算式为(11+2×3+4×5-6)×(7+8-9)=60。想一想:如果把6□7□8□9分成一组呢?例【4】在下面算式适当的地方添上加号,使等式成立。88888888=1000分析在8个8之间的适当的地方添上加号,运算符号是确定的,关键要选择添加号的位置。可以考虑在加数中凑出一个较接近1000的数是888,再考虑余下的5个8怎样安排就行了。解88888+888=1000,余下的5个8可以拿出2个8组成88,得到888+88+888=1000。因为1000-(88+888)=24,剩下的888只要再相加就行了,答案是:8+8+8+88+888=1000。例【5】在下面式子的适当地方添上+、-、×,使等式成立。12345678=1分析这题等号左边的数字较多,而等号右边的得数是最小的自然数1。可以考虑在等号左边最后一个数字8前面添“一”号,这时等1234567-8=1;再考虑式应为1234567=9;可考虑在7前面添+号,等式应为123456+7=9;用前面的方法,只要让123456=2,考虑12345-6=2;这时让12345=8就行了,考虑1235+5=8。则只需1234=3即可,1+2×3-4=3。解1+2×3-4+5-6+7-8=1根据题目给定的条件和要求添运算符号和括号,没有固定的法则。解决这类问题,一般的方法有试验法、凑整法、逆推法。如果题中的数字较简单,可以采用试验的方法,找到答案,如例1、例2;如果题中结果较大,可以把数字先分组,然后每组再试验,如例3。凑整法常用于题中数字较多、结果较复杂的时候。这时要先凑出一个与结果较接近的数,然后再对算式中算式的数字做适当的安排,即增加或减少,使等式成立,如例4、例5。在日常生活、工作中,经常会遇到有关行程路线的问题。比如:邮递员送小结最短路线信,要穿遍所有的街道,为了少走冤枉路,需要选择一条最短的路线;旅行者希望寻求最佳旅行路线,以求能够走最近的路而达到目的地,等等。这样的问题,就是我们所要研究学习的“最短路线问题”。典型例题例[1]假如直线AB是一条公路,公路两旁有甲乙两个村子,如下图1。现在要在公路上修建一个公共汽车站,让这两个村子的人到汽车站的路线之和最短。问:车站应该建在什么地方?分析如果只考虑甲村的人距离公路AB最近,只要由甲村向公路AB画一条垂直线,交AB于C点,那么C点是甲村到公路AB最近的点,但是乙村到C点就较远了。反过来,由乙村向公路AB画垂线,交AB于D点,那么D点是乙村到公路AB最近的点。但是这时甲村到公路AB的D点又远了。因为本题要求我们在公路AB上取的建站点,能够兼顾甲村和乙村的人到这个车站来不走冤枉路(既路程之和最短),根据我们的经验:两个地点之间走直线最近,所以,只要在甲村乙村间连一条直线,这条直线与公路AB交点P,就是所求的公共汽车站的建站点了(图2)。AB甲乙AB甲乙图1图2解用直线把甲村、乙村连起来。因为甲村乙村在公路的两侧,所以这条连线必与公路AB有一个交点,设这个交点为P,那么在P点建立汽车站,就能使甲村乙村的人到汽车站所走的路程之和最短。例[2]一个邮递员投送信件的街道如图3所示,图上数字表示各段街道的千米数。他从邮局出发,要走遍各街道,最后回到邮局。问:走什么样的路线最合理?全程要走多少千米?分析选择最短的路线最合理。那么,什么路线最短呢?一笔画路线应该是最短的。邮递员从邮局出发,还要回到邮局,按一笔画问题,就是从偶点出发,回到偶点。因此,要能一笔把路线画出来,必须途径的各点全是偶点。但是图中有8个奇点,显然邮递员要走遍所有街道而又不走重复的路是不可能的。要使邮递员从邮局出发,仍回到邮局,必须使8个奇点都变成偶点,就是要考虑应在哪些街道上重复走,也就是相当于在图上添哪些线段,能使奇点变成偶点。如果有不同的添法,就还要考虑哪一种添法能使总路程最短。为使8个奇点变成偶点,我们可以用图4的4种方法走重复的路124213124213124213线。图4中添虚线的地方,就是重复走的路线。重复走的路程分别为:(a)3×4=12(千米)(b)3×2+2×2=10(千米)(c)2×4=8(千米)(d)3×2+4×2=14(千米)当然,重复走的路程最短,总路程就最短。从上面的计算不难找出最合理的路线了。解邮递员应按图4(c)所示的路线走,这条路重复的路程最短,所以最合理。全程为:(1+2+4+2+1)×2+3×6+2×4=20+18+8=46(千米)例[3]图5中的线段表示的是小明从家到学校所能经过的所有街道。小明上学走路的方向都是向东或向南,因为他不想偏离学校的方向而走冤枉路。那么小明从家到学校可以有多少条不同的路线?分析为了叙述的方便,我们在各交叉点标上字母(见图6)。我们从小明家出发,顺序往前推。由于从小明家到A、B、C、D各处都是沿直线行走,所以都只有一种走法。我们分别在交叉点处标上“1”。而从小明家到E处,就有先到A或先到D的两种走法,正好是两个对角上标的数1+1的和。从小明家到F点,则有3条路线,又正好是两个对角上标的数1+2的和。标在各交叉点的数,就是依次顺序推出的到各交叉点能有多少种不同的路线的数。从中我们可以看出,每个格内上右角与下左角两个小明家学校北小明家ABFEFDEF对角上的数的和,正好等于下右角上的数。解从小明家到学校有13条不同的路线。如图7所示。图7第四讲拼拼摆摆知识要点:用火柴棒摆成的算式,是很有趣的算式,随着火柴棒的移动,它可以使数字、算法都发生想不到的变化。通过火柴棒的移动,使原来不相等的算式成为正确的算式,你感兴趣吗?[例1]移动一根小棒,使下面的等式成立。小明家学校北1121314259134ABCDEFGHMNK小结寻找最短路线,不应该走“回头路”。要按照一定的逻辑次序来排列可能路线,既要做到不重复数,也不漏数。对比较复杂的图形,可以借助图表来寻找路线。分析:左边结果21,右边是1,所以通过火柴棒的移动,使左边变小,右边变大。我们试着把“+”变为“-”,多出的这根火柴棒使“1”变成“7”,等式成立。也可以把“14”十位上的“1”移到等号的右边,使等式成立。[例2]移动一根小棒,使下面的等式成立。分析:只能移动1根火柴棒,因此数字不能改变,我们只好移动加减号,使左边变成得数,右边变成算式。我们试着把“=”变为“-”,多出的这根火柴棒使“-”变成“=”,等式成立。[例3]你能移动两根小棒,使下面的等式成立吗?分析:等式右边结果是8,可使左边变成9-1或7+1,9-1算式难以出现9,可选择7+1,这样经移动算式变为:[例4]移动两根小棒,使下面的等式成立。分析:四个1相加,结果是141,和太大了,因此要想办法使和变小,加数变大,这样把141后面“1”拿到前面加数中任何一个“1”的前面,等式就成立。[例5]试一试最少移动几根小棒,使下面的等式成立。分析:四个11相加,结果是224,和太大了,因此要想办法使加数变大,这样分别把两个11里面都拿一个“1”到前面加数中,变成两个“111”,这样等式就成立了。第四讲最大数和最小数问题六月一日,“小天使”儿童快餐店迎来了28位前来就餐的小朋友。快餐店的老板准备了一份精美的礼品送给其中年龄最小的小朋友。谁的年龄最小呢?当每个小朋友报出自己的年龄后,老板发现,其中有10岁的,也有9岁、8岁、7岁、6岁的,最小的是5岁。但是5岁的小朋友有4位。按照这4位小朋友生日的先后,还能找到一个最小的,因此老板要他们各自报出
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