解析几何专题汇编7抛物线的切线问题

第七部分、抛物线的切线问题1．(08广东)设0b，椭圆方程为22222xybb=1，抛物线方程为)(82byx．如图6所示，过点F（0,b+2）作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在G点的切线经过椭圆的右焦点1F，（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设,AB分别是椭圆的左右端点，试探究在抛物线上是否存在点P,使ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．解：（1）由28()xyb得218yxb，当2yb得4x，G点的坐标为(4,2)b，1'4yx，4'|1xy，过点G的切线方程为(2)4ybx即2yxb，令0y得2xb，1F点的坐标为(2,0)b，由椭圆方程得1F点的坐标为(,0)b，2bb即1b，即椭圆和抛物线的方程分别为2212xy和28(1)xy；（2）过A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点P,以PAB为直角的RtABP只有一个，同理以PBA为直角的RtABP只有一个。若以APB为直角，设P点坐标为21(,1)8xx，A、B两点的坐标分别为(2,0)和(2,0)，222421152(1)108644PAPBxxxx。关于2x的二次方程有一大于零的解，x有两解，即以APB为直角的RtABP有两个，因此抛物线上存在四个点使得ABP为直角三角形。2．已知动圆过定点(0,2)F，且与定直线:2Ly相切.（I）求动圆圆心的轨迹C的方程；（II）若AB是轨迹C的动弦，且AB过(0,2)F，分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明:AQBQ.解：（I）依题意，圆心的轨迹是以(0,2)F为焦点，:2Ly为准线的抛物线上因为抛物线焦点到准线距离等于4,所以圆心的轨迹是28xy（II）,ABx直线与轴不垂直:2.ABykx设1122(,),(,).AxyBxy22,1.8ykxyx由可得28160xkx，128xxk，1621xx抛物线方程为.41,812xyxy求导得所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是1114kx，2214kx，12121211114416kkxxxx所以，AQBQ3．（08陕西）已知抛物线C：22yx，直线2ykx交C于AB，两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N．（Ⅰ）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；（Ⅱ）是否存在实数k使0NANB，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．证明：（Ⅰ）如图，设221122(2)(2)AxxBxx，，，，把2ykx代入22yx得2220xkx．由韦达定理得121212kxxxx，．1224NMxxkxx，N点的坐标为248kk，．22yx，4yx，抛物线在点N处的切线l的斜率为44kk，lAB∥．（Ⅱ）假设存在实数k，使0NANB．由（Ⅰ）知22221122224848kkkkNAxxNBxx，，，，则22221212224488kkkkNANBxxxx222212124441616kkkkxxxx1212144444kkkkxxxx221212121214()4164kkkxxxxxxkxxxAy112MNBO22114(1)421624kkkkkk22313164kk0，21016k，23304k，解得2k．即存在2k，使0NANB．4．(07江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点(0)Cc，任作一直线，与抛物线2yx相交于AB，两点．一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线:lyc交于点PQ，．（1）若2OAOB，求c的值；（2）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由．解：（1）设直线AB的方程为ykxc，将该方程代入2yx得20xkxc．令2()Aaa，，2()Bbb，，则abc．因为2222OAOBababcc，解得2c，或1c（舍去）．故2c．（2）由题意知2abQc，，直线AQ的斜率为22222AQacaabkaababa．又2yx的导数为2yx，所以点A处切线的斜率为2a，因此，AQ为该抛物线的切线．（3）（2）的逆命题成立，证明如下：设0()Qxc，．若AQ为该抛物线的切线，则2AQka，又直线AQ的斜率为2200AQacaabkaxax，所以202aabaax，得202axaab，因0a，有02abx．ABCPQOxyl故点P的横坐标为2ab，即P点是线段AB的中点．5．已知过点0,1P的直线l与抛物线24xy相交于11()Axy，、22()Bxy，两点，1l、2l分别是抛物线24xy在A、B两点处的切线，M、N分别是1l、2l与直线1y的交点．（1）求直线l的斜率的取值范围；（2）试比较PM与PN的大小，并说明理由．解：（1）依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为1ykx．由方程214.ykxxy，消去y得2440xkx．··········①∵直线l与抛物线24xy相交于A，B两点，∴216160k，解得1k或1k．故直线l斜率的取值范围为,11,．（2）解法1：∵1x，2x是方程①的两实根，∴12124,4.xxkxx∴10x，20x．∵214yx，∴12yx．∵21114yx，∴切线1l的方程为211111()24yxxxx．令1y，得点M的坐标为2114,12xx．∴21142xPMx．同理，可得22242xPNx．∵22121221222121212142444124444PMxxxxxxxPNxxxxxxx（12xx）．故PMPN．解法2：可以断定PMPN．∵1x，2x是方程①的两实根，∴12124,4.xxkxx∴10x，20x．∵214yx，∴12yx．∵21114yx，∴切线1l的方程为211111()24yxxxx．令1y，得点M的坐标为2114,12xx．同理可得点N的坐标为2224,12xx．∵2212121212124440222xxxxxxxxxx．∴点P是线段MN的中点．故PMPN．6．如图，设抛物线方程为22(0)xpyp，M为直线2yp上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为AB，．（Ⅰ）求证：AMB，，三点的横坐标成等差数列；（Ⅱ）已知当M点的坐标为(22)p，时，410AB．求此时抛物线的方程；（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线22(0)xpyp上，其中，点C满足OCOAOB（O为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）证明：由题意设221212120(2)22xxAxBxxxMxppp，，，，，，．由22xpy得22xyp，得xyp，所以1MAxkp，2MBxkp．因此直线MA的方程为102()xypxxp，直线MB的方程为202()xypxxp．yxBAOM2p所以211102()2xxpxxpp，①222202()2xxpxxpp．②由①、②得121202xxxxx，因此1202xxx，即0122xxx．所以AMB，，三点的横坐标成等差数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当02x时，将其代入①、②并整理得：2211440xxp，2222440xxp，所以12xx，是方程22440xxp的两根，因此124xx，2124xxp，又222101221222ABxxxxxppkxxpp，所以2ABkp．由弦长公式得2221212241()411616ABkxxxxpp．又410AB，所以1p或2p，因此所求抛物线方程为22xy或24xy．（Ⅲ）解：设33()Dxy，，由题意得1212()Cxxyy，，则CD的中点坐标为12312322xxxyyyQ，，设直线AB的方程为011()xyyxxp，由点Q在直线AB上，并注意到点121222xxyy，也在直线AB上，代入得033xyxp．若33()Dxy，在抛物线上，则2330322xpyxx，因此30x或302xx．即(00)D，或20022xDxp，．（1）当00x时，则12020xxx，此时，点(02)Mp，适合题意．（2）当00x，对于(00)D，，此时2212022xxCxp，，2212022CDxxpkx221204xxpx，又0ABxkp，ABCD，所以22220121220144ABCDxxxxxkkppxp，即222124xxp，矛盾．对于20022xDxp，，因为2212022xxCxp，，此时直线CD平行于y轴，又00ABxkp，所以直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾，所以00x时，不存在符合题意的M点．综上所述，仅存在一点(02)Mp，适合题意．