二次函数零点的分布

函数零点•一般地，对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x就做函数y=f(x)的零点.由此得出以下三个结论等价：•方程f(x)=0有实根•函数y=f(x)的图象与x轴有交点•函数y=f(x)有零点二次函数零点的分布实根分布问题★一元二次方程20(0)axbxca1、当x为全体实数时的根2(1)40bac当时，方程有两个不相等的实数根2(2)40bac当时，方程有两个相等的实数根2(3)40bac当时，方程没有实数根解：寻求等价条件例1.m为何实数值时，关于x的方程（1）有实根（2）有两正根（3）一正一负2(3)0xmxm22(1)4(3)0412062.mmmmmm，得：或1212062(2)006300mmxxmmmxx或得得：12062(3)3.030mmmxxm或得得：练习：、已知关于x的方程(m+1)x2+2(2m+1)x+(1-3m)=0.当m为何值时，方程有两异号的实根.法一：设由已知得：2()(3)fxxmxm24(3)0(1)0612mmfmm转变为函数，借助于图像，解不等式组01f(x)x1x2x法二：212121212124(3)06-2(1)(1)0()106(1)(1)020mmmmxxxxxxmxxxx或转化为韦达定理的不等式组变式题1m为何实数值时，关于x的方程有两个大于1的根.2(3)0xmxm法三：22122=4(3)04121241212mmmmmxmmmx由求根公式，转化成含根式的不等式组解不等式组，得22622641244mmmmmmmm或•判断二次函数的零点分布的关键:在于作出二次函数的图象的草图，根据草图通常从判别式、对称轴的位置、特殊点的函数值这三个角度列出不等式组求解．(1)方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，求实数a的取值范围．(2)方程x2－2ax＋4＝0的一根大于1，一根小于1，求实数a的取值范围.(3)方程x2－2ax＋4＝0的一根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内,求实数a的取值范围．221212()(0)0(0),()fxaxbxcaaxbxcaxxxx设一元二次方程的两根为(1)(kk方程两根都小于为常数）02()0bkafk(2)(kk方程两根都大于为常数）02()0bkafk12(3)(xkxk为常数）()0fk112212(4)(,kxxkkk为常数）121202()0()0bkkafkfk112212(5)(,xkkxkk为常数）12()0()0fkfk1212(6),xxkk，有且只有一个根在（）内1k2k1k2k1k2k1k2k12()()0fkfk1202bkka或1121()022fkkkbka或2122()022fkkkbka或12(7)(,,,mxnpxqmnpq为常数）()0()0()0()0fmfnfpfq(8)方程有两个不相等的正根可用韦达定理表达式来书写条件002(0)0baf也可()fxx1x2x01212000xxxx()fxx1x2x0(9)方程有两个不相等的负根可用韦达定理表达式来书写条件也可002(0)0baf(10)方程有一正根一负根可用韦达定理表达式来书写：ac0也可f(0)0关于x的不等式x2-ax+4≥0在区间(0,+∞)上恒成立，则实数a的最大值是.【答案】4【解释】∵x0，∴由原不等式得a≤x+恒成立.∵x+≥2=4（当且仅当x=2时取等号）∴x+的最小值是4，∴a≤4，即a的最大值为4.4x4x4xxx4练习：已知函数f(x)=mx2+(m-3)x+1在原点右侧至少有一个零点，求实数m的取值范围.分析二次函数的零点分布问题,经常要结合其图象进行求解.【解释】注意到x=0时，f(x)=1，∴f(x)的图象恒过定点（0，1）.当m=0时，f(x)=-3x+1在原点右侧有一零点，当m＜0时，f(x)的图象开口向下，在原点右侧有一个零点，当m＞0时，f(x)的图象开口向上，如下图所示.∴解得0＜m≤1.综上所述知所求m的取值范围是m≤1.Δ=(m-3)2-4m≥0,＞0,3-m2m