SARS传播的数学模型和对经济的影响

SARS传播的数学模型和对经济的影响1/26SARS传播的数学模型及对经济的影响指导老师：覃思义参赛队员：李彦麟李小华刘纽SARS传播的数学模型及对经济的影响摘要本文针对SARS的传播以及对经济的影响分别建立了数学模型。首先，对附件1提供的早期模型，认为“传染概率”的说法欠妥，传染期限L的确定缺乏医学上的支持，使模型的说服力降低。模型中借鉴广东香港的参数来预测北京的疫情走势，不失为一种方法，但在不同地区因政策，地域的不同，病毒的传播和控制呈现不同的特点，使不同城市之间的可比性降低。故借鉴法存在一定的适用范围，且不能对首发城市进行预测。对于第二问，在分析常用传染病模型的局限性后，文中把患者所处的状态明确划分为潜伏阶段、发病阶段和隔离阶段，根据各阶段的转化关系建立了第一个数学模型。考虑到发病和被隔离等事件发生的随机性，本文在原有模型的基础上适当改进，建立了随机模拟模型。通过对5月10日以前数据的拟合，并经过500次模拟，对北京的疫情进行了预测：7月上旬北京将基本解除疫情，累计病例约2800多人。预测结果与实际情况符合得很好。另外，改变有关参数，发现提前5天采取严格的隔离措施，将使疫情解除的时间提前约10天，累计人数降至1958人；若延迟5天采取措施，疫情将推迟11天，累计人数达4487人。根据这些预测，文中对卫生部门采取控制措施提出了相关建议。对第三个问题，本文研究SARS对入境旅游人数的影响，建立了数学模型。通过数据拟合的方法确定日增长病例数对旅游人数的影响，预测9~12月份入境旅游人数分别为24.02，36.06，33.04，25.85万人。与往年同期相比，9月降低了23.5个百分点，10月以后影响逐步减小，经济进入恢复时期。对于第四个问题，给报刊写了一篇通俗短文，说明了建立传染病数学模型的重要性。最后在模型的评价中，对该模型优于原附件1模型的方面作了说明，特别说明了建立一个真正能预测和为预防、控制提供可靠、足够的信息的模型需要满足的条件和困难之处。SARS传播的数学模型和对经济的影响2/26一、问题的提出2002年至2003年，SARS（严重急性呼吸道综合症,俗称非典型肺炎）悄然无息地靠近我们的生活，在潜伏一段时间后忽然爆发，在全球掀起了轩然大波。作为重灾区的国家之一，我国的经济发展和人民生活受到了很大的影响。我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。对此，要求对SARS的传播建立数学模型，具体要求如下：1、对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。2、对SARS的传播建立一个自己的模型，并说明：(1)为什么优于附件1中的模型；(2)怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，以及这样做的困难之处。(3)对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。（附件2提供的数据供参考。）3、收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。（附件3提供的数据供参考。）4、给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。二、对早期模型的评价附件1的模型主要采用“数据拟合”和“借鉴参数”的方法对北京疫情走势进行预测。在数据拟合方面，该模型中有两个疑点：1、感染期限L的确定。由于被严格隔离、治愈、死亡等原因，感染者在某一时段后不再具有对易感人群的传染力，故对病毒的传染加上感染期限是合理的。但在对该参数的确定上，作者为了较好地拟合各阶段的数据,通过人为调试来确定L的取值，缺乏医学上的支持，使模型的说服力减弱，合理性和可靠性大大降低。2、文中认为“K代表某种环境下一个人传染他人的平均概率”。但从模型的公式中可以看出，参数K的实际意义是一个病人平均每天传染其他人的个数。两者之间有实质的区别，文中的说法显然不妥。从预测思想来看，该模型是借鉴先发地区——广东、香港的有关参数对北京的疫情进行预测的。由于广东、香港的疫情和控制都在北京之前，已经过了高峰期，到5月8日为止每日新增病例已降至10来例，基本处于后期控制阶段。而当时北京的疫情刚过了高峰期，正处于社会剧烈调整时期，数据较为凌乱，略有下降趋势，但不明显。可见在当时，采取这种借鉴是无奈之举。SARS传播的数学模型和对经济的影响3/26但是由于城市之间的政策，风俗习惯等不同，城市之间的可比性不强，借鉴存在很大的局限性。如在香港，由于对传播机制认识不足，中途又出现高度感染的特殊情况。另外使用借鉴法无法对首发城市进行预测。三、传播模型（一）问题的分析在SARS爆发的初期，由于潜伏期的存在，人们对病毒传播速度和危害程度的认识不够，未能及时识别这一传染病的存在。但当病患数不断增加，政府开始采取应对措施对其进行控制，同时社会舆论加大宣传力度，人们的警觉性提高，病毒的传播速度下降。因此，我们通常把传染病的传播模式近似分为两个阶段：第一、自由传播阶段（即控前阶段）：在采取切实有效的控制措施之前的一段时间。第二、控后阶段：介入人为因素之后的一段时间。由于SARS的传播涉及的因素很多，如潜伏期、人群的迁入迁出，感病者的数量、易感者的数量、传染率和治愈率的大小等。而且在以上因素中，潜伏期的大小、传染率和治愈率的大小因人而易，具有一定的随机性。不可能一开始就把所有的因素全部考虑在内建立模型。对此，我们将作出相应的假设进行简化。分析附件2所给出的数据，发现6月1日至15日，已确症病例累计数为2522人，其中夹杂3天累计数为2523人。但6月16日后累计数降至2521人，认为累计数的减少可能是误诊引起的。由于误诊的可能性很低，故在这里忽略不计。（二）基本假设1、国家卫生部提供的北京疫情统计真实可信。（误诊数仅为1，可忽略不计）。2、由于非典的主要传播途径是近距离接触，通过受感染者咳嗽或打喷嚏时产生的飞沫传播，这里将所有传播途径都视为与病源的直接接触。3、不考虑出生与自然死亡的过程和人群的迁入迁出（或认为迁入和迁出基本平衡），认为疾病传播期间所考察地区的总人数为常数。4、根据国家卫生部资料可知处于潜伏期的SARS病人不具有传染性。5、目前尚不清楚康复患者是否具有免疫力，但据国家卫生部资料可知康复后的病患无一例复发。故假设康复患者退出传染系统。6、根据资料显示，SARS病毒的潜伏期一般为2~7天，平均约为5天。（这一条件将在后期的模型中有所改动）（三）常用基本模型目前常用的传染病模型，通常将传染病流行范围内的人群分为三类：S类：易感者，指未得病者，但与感病者接触后容易受到感染。SARS传播的数学模型和对经济的影响4/26I类：感病者，指染上传染病的人。R类：移出者，指因患病而被隔离，或因病愈而具有免疫力的人，他们即非感病者，也非易感者，实际上他们已经退出了传染病系统。并通过三类之间的互相转化关系建立微分方程组进行求解：NRIShIdtdRhIkISdtdIkISdtdS(1)变量和符号说明：k——传染率：每个病人平均每天有效接触（足以使被解除者感染）的人数。h——退出率：单位时间内治愈和死亡人数占感病者人数的百分数。S(t)——易感人群的总数。I(t)——感病者总数。R(t)——退出者总数。N——一个城市总人口数。观察附件二中给出的数据，我们发现截至6月23日，感病者累计为2521人，远远小于北京城市的总人口数150万人，故认为感病者和退出者对易感人群的总数影响不大，易感者总人数I为一常数。原方程变形为：hIdtdRhIkINdtdI（2）注意到退出者不是我们研究的范围，故方程组（2）实际上是一个常微分方程IhIkNIdtdI（3）其中hkN，不难用分离变量法解出：teItI0)(（4）其中I0为初始值。根据以上分析我们可以看出，常微分方程的传染病模型只适用于病例数与总人口数SARS传播的数学模型和对经济的影响5/26具有可比性的情况。当病例数远小于总人口数时，常微分方程模型的实质与附件1的模型相同，感病人数将随时间以指数增长。考虑这一特点，我们用计算机跟踪病毒的个体传播情况，建立了模拟模型。（四）计算机模拟模型：在该模型中，我们将传染系统中的人分为五类：自由携带者（][tf）——身上携带病毒并均匀散布在人群中的患者，根据基本假设自由携带者在潜伏期内不具有传染力，日增患者（][tx）——每天被医疗部门发现并加以隔离的感病者被隔离者（][ty）——因曾与自由携带者接触而被怀疑携带SARS病毒的人有效接触者（][1tz）——每日与自由携带者接触并感染上病毒的人无效接触者（][2tz）——每日与自由携带者接触但未染上病毒的人并作出如下假设：1、由于传染性SARS最初（1~2天）的症状通常为发热（o38），发热通常为高热[1]。症状明显，易于辨认，故可认为自由携带者发病后当天或第二天就立即入院治疗，入院后不会再参与疾病的传播。2、根据实际情况，假设SARS病人被发现的三天内，有关部门将采取措施，将部分与病源有效接触者隔离，这部分人即使发病后也不会参与疾病的传播。3、与病源有效接触者必然发病。根据基本假设，潜伏期一般为2至7天，这里取为5天。（这一假设在改进模型中有进一步的讨论。）另外，对模拟模型中出现的符号变量说明如下：1k——有效接触率，表示一个自由携带者平均每天有效接触的人数。2k——无效接触率，表示一个自由携带者平均每天无效接触的人数。——与自由携带者接触后（包括有效接触和无效接触）的人群中可以控制的人数所占的百分比。模拟模型中个体传播情况如图1所示：自由携带者1~5天处于潜伏期，不具有传染能力；5天后发病，发病后每天有效接触1k人，2天后（第7天）被隔离，在隔离前每天无效接触2k人。与病源接触后的可控人群（占接触者总人数的）在3天后被视为疑似病人。疑似病人中的有效接触者在接触病源的第7天被发现确认为日增患者，而有效接触者中其他人作为自由携带者留在人群中，继续这之前的个体传播。自由携带者有效接触者无效接触者自由携带者被隔离者7天后第6，7天7天中3天后SARS传播的数学模型和对经济的影响6/26图1：个体传播示意图用数学模型描述各个变量之间的关系如下：]6[]6[][][)1(][)6,2,1,0]([][][]6[][]5[11221111izifixizifjifkjizifkizifkiz（5）由于北京在4月20日才开始建立每日疫情报道制度，故认为政府采取严格的隔离措施开始于4月20日，以这一天为分界线，之前属于自由传播阶段。根据这一模型，用计算机模拟北京5月10日之前SARS的传播情况，并对5月10日以后的传播情况进行预测。图2：5月10日以前数据拟合图SARS传播的数学模型和对经济的影响7/26图3：5月10日以后的预测曲线通过图2两条曲线的拟合，得到控前的有效接触率（表征病毒的传染力）k=1.351,可控率（表征政府的控制力度）5.0；控后k1=0.8，=0.7。根据这两个参数作出5月10日的预测曲线见图3。，根据预测，北京将在第97天（6月下旬）实现零增长，累计病例数2448人。经过分析，以上确定型的模拟模型存在以下两点问题：第一、SARS病毒的潜伏期一般是2~7天，模型将潜伏期确定为5天，从感染到被发现的时间确定为7天，可以明显地看到以7天为传播周期的曲线变动，而在实际曲线中，虽然数据有上下波动的趋势，但周期性并不明显。第二、在采用隔离政策时，模型假定与病源接触的人群以固定的比例受到控制，这种假设加大了人为主观因素的影响。基于以上两点，在拟合5月10日之前的数据时，得到的有效接触率与实际统计数据有所偏差。这种偏差降低了模型的可信度。基于此，我们查找有关统计数据，为参数的确定寻求医学上的支持，并以随机模拟取代完全确定性的模拟，对原模型进行改进，建立了随机模拟模型。（五）改进后的随机模拟模型1、根据上文的分析，在原有模型的基础上作出如下改进假设：假设一：假设潜伏期的长短服从