矩形的性质和判定(3)

北师大版九年级(上)1.2矩形的性质与判定(3)复习旧知有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。1、矩形的定义：2、矩形的特性：(1)矩形的四个角都是直角；(2)矩形的对角线相等。3、定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.4、矩形的判定：(1)对角线相等的平行四边形是矩形；(2)有三个角是直角的四边形是矩形。例1、如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，求AE的长.范例讲解解：∵四边形ABCD是矩形∴AO=DO=BD∴∠BAD=90°21ABCDOE∵ED=3BE∴BE=OE又∵AE⊥BD∴AB=AO∴AB=AO=BO即△ABO的等边三角形∴∠ABO=60°∴∠ADB=90°-∠ABO=30°在Rt△AED中∠ADE=30°∴AE=AD=321巩固练习1、如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作BD的垂线，垂足为E，已知∠EAD=3∠BAE，求∠EAO的度数.BACDEO巩固练习2、如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ACB=30°，BD=4，求矩形ABCD的面积.ABCDO例2、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.求证：四边形ADCE是矩形.BACNMDE证明：∴∠CAD=∠BAC,∠CAN=∠CAM21∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM21∴∠DAE=∠CAD+∠CAN=(∠BAC+∠CAM)21=90°在△ABC中∵AB=AC,AD为∠BAC的平分线∴AD⊥BC∴∠ADC=90°又∵CE⊥AN∴∠CEA=90°∴四边形ADCE是矩形范例讲解巩固练习3、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，四边形ABDE是平行四边形.求证：四边形ADCE是矩形.BACDE合作交流ⅰ、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E，连接DE，交AC于F.(1)试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论.BACNMDEF合作交流ⅰ、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E，连接DE，交AC于F.(2)线段DF与AB有怎样的关系？请证明你的结论.BACNMDEF巩固练习4、已知：如图，四边形ABCD由两个全等的等边三角形ABD和CBD组成，M、N分别是BC和AD的中点.求证：四边形BMDN是矩形.ABCMDN新知探究Ⅰ、如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，将矩形纸片折叠，使点C与点A重合.ABCD(1)图中折痕会经过哪个点？折痕会经过对角线的交点(2)图中折痕还有什么特征？折痕与AC垂直OEF新知探究Ⅰ、如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，将矩形纸片折叠，使点C与点A重合.ABCDOEF(3)怎样求图中折痕的长？ⅰ、如图，在△ABC中，AB=AC，CD是腰AB上的高，点P在BC边上，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F.求证：PE+PF=CD.合作交流ABCPDEF巩固练习5、如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E、F，求PE+PF的值.ABCDOPEF课堂小结