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1常微分方程复习总结初等积分法一、主要概念常微分方程:未知函数是一个变元的函数,由这样的函数及其导数(或微分)构成的等式。方程的阶:在微分方程中,未知函数最高阶导数的阶数,称为方程的阶。微分方程的解:一个函数代入微分方程中去,使得它成为关于自变量的恒等式,称此函数为微分方程的解。通解:n阶方程,其解中含有n个(独立的)任意常数,此解称为方程的通解。由隐式表出的通解称为通积分。特解:给通解中的任意常数以定值,所得到的解称为特解,由隐式给出的特解称为特积分。初值问题:求微分方程满足初值条件的解的问题。变量可分离方程:形如)()(ddygxfxy或yyNxMxyNxMd)()(d)()(2211的方程称为变量可分离方程。齐次微分方程:形如)(ddxyxy的方程,称为齐次微分方程。线性微分方程:未知函数和它的导数都是一次的微分方程。一阶线性微分方程:一阶线性微分方程的形式是)()(ddxfyxpxy如果0)(xf,即0)(ddyxpxy称为一阶线性齐次方程。如果)(xf不恒为零,则称)()(ddxfyxpxy为一阶线性非齐次方程。伯努利(Bernoulli)方程:形如nyxfyxpxy)()(dd(1,0n)的方程,称为伯努利方程。全微分方程:如果微分形式的一阶方程0d),(d),(yyxNxyxM(1.1)的左端恰好是一个二元函数),(yxU的全微分,即yyxNxyxMyxUd),(d),(),(d(1.2)则称方程(1.1)是全微分方程或恰当方程,而函数),(yxU称为微分式(1.2)的原函数。积分因子:假如存在这样的连续可微函数0),(yx,使方程0d),(),(d),(),(yyxNyxxyxMyx成为全微分方程,我们就把),(yx称为方程(1.1)的一个积分因子。二、主要定理定理1.1假如),(yxU是微分式(1.2)的一个原函数,则全微分方程(1.1)的通积分为2CyxU),(,其中C为任意常数。定理1.2如果方程(1.1)中的),(),,(yxNyxM在矩形区域byyaxxR00,:上连续可微,则方程(1.1)是全微分方程的充要条件是:在R上有xNyM三、基本解法每种解法所对应的可积类型可归纳如下:对于导数已解出的一阶方程),(yxfy,有1.分离变量法:(1)显式变量可分离方程为:)()(ddygxfxy;当0g时,通过积分Cxxfygyd)()(d求出通解。(2)微分形式变量可分离方程为:yyNxMxyNxMd)()(d)()(2211;当0)()(21xMyN时,通过积分CxxMxMyyNyNd)()(d)()(2112求出通解。(3)一阶齐次微分方程为:)(ddxygxy;令xyu,代入方程得xuugxu)(dd,当0)(uug时,分离变量并积分,得uuguxC)(d1e,即)(euCx,用xyu回代,得通解)(exyCx.2.常数变易法:(1)一阶线性非齐次微分方程为:)()(ddxfyxpxy;用常数变易法可以求出线性非齐次方程的通解:]de)([ed)(d)(xxfCyxxpxxp。(2)伯努利方程为:)1,0()()(ddnyxfyxpxyn,两端除以ny,得)()(dd1xfyxpxyynn;令nyz1,代入后得到以z为未知函数的线性方程)()(dd11xfzxpxzn,在求通解。3.积分因子法:化成全微分方程,按全微分方程求解。(1)全微分方程(或恰当方程)为:0d),(d),(yyxNxyxM;若二元函数),(yxU满足:yyxNxyxMyxUd),(d),(),(d,则上式的原函数为:),(yxU.(2)如果存在连续可微函数0),(yx,使方程xyxMyxd),(),(0d),(),(yyxNyx成为全微分方程,则称),(yx积分因子。对于导数未解出的一阶方程0),,(yyxF有4.参数法:(1)类型Ⅰ)0),((,0),(yyFyxF3若参数形式)()(tytx,则参数形式通解为:Ctttytxd)()()(;或参数形式)()(tyty,则参数形式通解为:)(d)()(tyCtttx(2)类型Ⅱ)),((),,(yyfxyxfy若参数形式),(pxfypyxx,则参数形式解为:),(0),,(pxfyCpxG或参数形式),(pyfxpyyy,则参数形式解为:),(0),,(pyfxCpy对于高阶方程有降阶法:第一种可降阶的高阶方程)1(.0),,,,()()1()(kyyyxFnkk;第二种可降阶的高阶方程0),,,(nyyyF;假如方程0),,,,()(nyyyxF的左端恰为某一函数),,,,()1(nyyyx对x的导数,则称该方程为恰当导数方程。例题分析例1填空题(1)方程0d)1(1)d(22yxyxyx所有常数解是.解:将其化为),(ddyxfxy或),(ddxygyx形式,然后令方程右端的0),(yxf或0),(xyg,求出常数解,再代入方程验算,可以得到答案。应该填写:1,1xy(2)方程yxxysindd2的所有常数解是.解:应该填写:ky,,2,1,0k(3)方程yxxytandd2的所有常数解是.解:应该填写:ky,,2,1,0k(4)一阶常微分方程的一个特解的图像是维空间上的一条曲线.解:应该填写:2求下列方程的通解或通积分:例20dd)2(yxxyx解:方程化为xyxy21dd4令xuy,则xuxuxydddd,代入上式,得uxux1dd分量变量,积分,通解为:1Cxu原方程通解为:xCxy2例31ddxyxy解:齐次方程的通解为:Cxy令非齐次方程的特解为:xxCy)(代入原方程,确定出CxxCln)(原方程的通解为:Cxy+xxln例40d)ln(d3yxyxxy解:因为xNxyM1,所以原方程是全微分方程.取)0,1(),(00yx,原方程的通积分为Cyyxxyyx031dd即Cyxy441ln例52)(yyxy解:原方程是克来洛方程,通解为:2CCxy例603)(22xyyy解:原方程是恰当导数方程,可写成:0)(3xyy即13Cxyy分离变量解此方程,通积分为:24124121CxxCy例71)ln(yxy解:令py,则原方程的参数形式为pyppxln1由基本关系式yxydd,有ppppxyy)d11(dd2pp)d11(积分得Cppyln得原方程参数形式通解为5Cppyppxlnln1例80dd)e(2yxxyxx解:积分因子为:21)(xx,原方程的通积分为1012dd)(eCyxxyyxx即1e,eCCCxyx第2章基本定理一、主要概念延展解、不可延展解:设)(1xy是初值问题00)(),(ddyxyyxfxy(2.1)在区间RI1上的一个解,如果(2.1)还有一个在区间RI2上的解)(2xy,且满足(1)21II;(2)当)()(,211xxIx时;则称解11),(Ixxy是可延展的,并称)(2x是)(1x在I2上的一个延展解.否则,如果不存在满足上述条件的解)(2x,则称11),(Ixx是初值问题(2.1)的一个不可延展解,(亦称饱和解).这里区间I1和I2可以是开的也可以是闭的.奇解:如果方程存在某一解,在它所对应的积分曲线上每点处,解的唯一性都被破坏,则称此解为微分方程的奇解.奇解对应的积分曲线称为奇积分曲线.包络线:设给定单参数曲线族0),,(:)(CyxC其中C为参数,Φ对所有变量连续可微.如果存在连续可微曲线L,其上任一点均有(C)中某一曲线与L相切,且在L上不同点,L与(C)中不同曲线相切,那么称此曲线L为曲线族(C)的包络线或简称包络.二、主要定理定理2.2(存在与唯一性定理)如果方程),(ddyxfxy的右端函数),(yxf在闭矩形域byybyaxxaxR0000,:上满足如下条件:(1)在R上连续;(2)在R上关于变量y满足李普希兹(Lipschitz)条件,即存在常数N,使对于R上任何一对点),(yx和),(yx有不等式:yyNyxfyxf),(),(则初值问题(2.1)在区间0000hxxhx上存在唯一解:600)(),(yxxy其中),(max),,min(),(0yxfMMbahRyx.定理2.3如果方程),(ddyxfxy的右端函数),(yxf在区域2RD上连续,且对y满足局部李普希兹条件,则对任何Dyx),(00,初值问题(2.1)存在唯一的不可延展解.定理2.4如果方程),(ddyxfxy的右端函数),(yxf在(有界或无界)区域D上连续,且关于y满足局部李普希兹条件,那么对于D上任意一点),(00yx,方程),(ddyxfxy的以),(00yx为初值的不可延展解),(),(xxy,当00xx和时,相应积分曲线上的点))(,(xx都趋于D的边界.定理2.6若L是曲线族0),,(:)(CyxC的包络线,则它满足如下的C-判别式0),,(0),,(CyxCyxC(2.2)反之,若从(2.2)解得连续可微曲线)(),(:CyCx且满足:0)()(22CC和0)),(),(()),(),((22CCCCCCyx,(称为非退化条件),则是曲线族的包络线.三、基本解法1.不存在奇解的判别方法:(1)若方程在全平面上解唯一,则方程不存在奇解;(2)若不满足解唯一的区域上没有方程的解,则方程无奇解.2.求奇解的包络线求法.若L是曲线族0),,(:)(CyxC的包络线,则其满足C—判别式(2.2).在非蜕化条件下,从C—判别式解出的曲线)(),(:CyCx是曲线族的包络线.四、复习要求1.知道线素与线素场的概念,理解解的存在与唯一性定理的条件、结论,理解其证明方法.2.了解解的延展、延展解、不可延展解的概念,了解局部李普希兹条件,理解解的延展定理,3.了解奇解定义、包络线概念,掌握不存在奇解的判别法、包络线的C-判别式,掌握奇解的4.掌握利用解的存在与唯一性定理、解的延展定理证明有关方程解的某些性质的基本方法.本章重点:解的存在与唯一性定理,解的延展定理。五、例题分析例1填空题7(1)方程xxyxyesindd的任一解的最大存在区间必定是.解:将方程整理为:),(sineddyxfxyxyx因为在矩形区域R:yx,内,方程右端的),(yxf满足解的存在、惟一性定理的条件,所以应该填写:),((2)方程yxxycossindd满足解的存在唯一性定理条件的区域是.解:因为在矩形区域R:yx,内,方程右端的),(yxf满足解的存在、惟一性定理的条件,所以应该填写:xoy平面(3)李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的条件.解:由教材第105页可以知道,应该填写:充分(4)方程21ddyxy的奇解是.解:由教材第123页的例2.4.4可以知道,应该填写:1y例2单项选择题(1)),(yxfy连续是保证),(yxf对y满足李普希兹条件的()条件.(A)充分(B)充分必要(C)必要(D)必要非充分解:由教材第页的说明1可以知道,正确答案:A(2)方程21yy过点)0,0(的解xysin,这个
本文标题:常微分方程总复习
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