10.2由平行截面面积求体积

《数学分析》教案第十章定积分的应用1§2由平行截面面积求体积教学目标：掌握由平行截面面积求体积的计算公式教学内容：由平行截面面积求体积的计算公式．基本要求：掌握由平行截面面积求体积的计算公式．教学建议：(1)要求学生必须熟记由平行截面面积求体积的计算公式并在应用中熟练掌握．(2)进一步领会微元法的要领．教学过程：设为三维空间中的一立体，它夹在垂直于x轴的两平面bxax,之间).(ba若在任意一点],[bax处作垂直于x轴的平面，则它截得的截面面积显然是x的函数，记为)(xA，],[bax，并称之为的截面面积函数。下面将导出由截面面积函数求立体体积的计算公式和旋转体的计算公式。一、立体体积设截面面积函数)(xA是],[ba上的一个连续函数。对],[ba作分割.:10bxxxaTn过这些分点作垂直于x轴的平面,,,2,1,nixxi它们把分成n个薄片iV（ni,,2,1）。iimM.分别表示)(xA在],[1iiixx上的最大值和最小值，则有iiiiixMVxm于是，的体积V满足：.111niiniiniiixMVVxm由)(xA在],[ba上连续知，它在],[ba上可积。所以对任意,0当分割的细度T足够小时，就有《数学分析》教案第十章定积分的应用2,)(11niiiniiixmMx所以有.)()(limlim1010bainiiTiniiTdxxAxAxmV例1、求两个柱面222ayx与222azx所围立体的体积。解：由对称性知，只须计算第一卦限的体积再乘以8即可。对任一],,0[0ax平面0xx与这部分立体的截面是一个边长为202xa的正方形，所以].,0[,)(22axxaxA由公式得.316)(83202adxxaVa例2、求由椭球面1222222czbyax所围立体的体积。解：以平面)(00axxx截椭球面。得椭圆.1)1()1(2202222022axczaxby所以截面面积函数为].,[),1()(22aaxaxbcxA于是椭球体积为.34)1(22abcdxaxbcVaa注：当rcba时，球的体积为.343r二、旋转体的体积设f是],[ba上的连续函数，是由平面图形《数学分析》教案第十章定积分的应用3bxaxfy,)(0绕x轴旋转一周所得的旋转体。则截面面积函数为].,[,)]([)(2baxxfxA因此旋转体的体积公式为.)]([2dxxfVba例3、求圆锥体的体积公式。解：设正圆锥的高为h，底圆半径为.r这圆锥体可由平面图形],0[,0hxxhry绕x轴旋转一周而得。其体积为.31)(220hrdxxhrVh例4、求由圆)0()(222RrrRyx绕x轴旋转一周所得环状立体的体积。解：圆222)(rRyx的上、下半圆分别为,)(,)(221222xrRxfyxrRxfy其中.rx故圆环体的截面面积函数是].,[,4)]([)]([)(222122RrxxrRxfxfxA圆环体的体积为.2822022RrdxxrRVr作业：P246:1;2;3.