矩法估计的分析及应用

矩法估计的分析及应用金融数学10本黄小听17摘要：矩法估计就是根据子样所提供的信息，对母体的分布或分布的数字特征等作出合理的统计推断的一种方法。它不仅在数学领域应用广泛，对于解决实际问题(比如预测股市行情，教育统计学等），也有很大的用途。关键字：矩法估计；应用；评选标准；优缺点一什么是矩法估计对于随机变量来说，矩是其最广泛，最常用的数字特征，母体的各阶矩一般与的分布中所含的未知参数有关，有的甚至就等于未知参数。由辛钦大数定律知，简单随机子样的子样原点矩依概率收敛于相应的母体原点矩Er,r=1,2，…。这就启发我们想到用子样矩替换母体矩（替换原则），进而找出未知参数的估计，基于这种思想求估计量的方法称为矩法。用矩法求得的估计称为矩法估计，简称矩估计。它是由英国统计学家皮尔逊Pearson于1894年提出的。二矩法估计的理论依据由辛钦大数定律知：…即对任意，有或三如何求解矩法估计设母体具有已知类型的概率函数),,,;(21nxf，(1，2，…，k)∈是k个未知参数。1，…，n是取自母体的一个子样，假设的k阶矩k=Ek存在，显然j，jk都存在，并且是1，2，…，k的函数j(1，2，…，n)。子样1，2，…，n的j阶矩为j=nijin11。我们设j(1，2，…，n)=j，j=1,2,…，k（＊）得到含k个未知数1，2，…，k的k个方程式，解这k个联立方程组就可以得到1，2，…，k的一组解：iˆ=iˆ（1，2，…，n），i=1,2,…，k用（＊）中的解iˆ估计参数i就是矩法估计。由于iˆ是1，2，…，n子样的函数，所以iˆ是统计量。(在数理统计中，我们一般用表示的估计量。)四矩法估计在解决数学问题与实际问题上的应用例1：母体均值E与方差D为矩法估计。解：设1，2，…，n是母体的子样。母体具有均值E和方差D=E2-（E2)按照（＊）式得方程式组1=E=2=E2=（E2)+D=2解这一方程组得E和D的矩法估计Eˆniin11Dˆ22)(=21)(1niin=2nS例2:已知大学生英语四级考试成绩~N(μ,σ2)，均值μ,方差σ2均未知，1,…,n为取自母体的一个子样，(x1,…,xn)是子样的一组观测值,求μ与σ2的矩法估计。解：注意到有两个未知参数，由矩法估计知需两个方程，按照(＊)式得方程组解这一方程组得μ与σ的矩法估计量ˆ=，2ˆ=22)(分析：注意到我们这里求出μ与σ2的矩法估计未用到母体的分布。这样对μ,σ2作出了估计，也就对整个母体分布作出了推断，进而对大学生英语四级考试成绩相关的其它数字特征（如标准分、标准差、偏态系数等）作出了估计。矩法估计还有很多其他实际应用，如根据几天前的交易数据估计当天的股市行情、根据随机抽样的结果估计生产线上螺丝钉的合格率、教育统计学等。五估计量的评选标准1.一致估计定义：设母体具有概率函数);(xf，∈为未知参数。nˆ=nˆ（1，2，…，n）为的一个估计量，n为子样容量。若对任意0，式limnP0ˆ成立，则称nˆ为参数的一致估计。是母体均值E的一个一致估计，r是的Er一个一致估计，子样方差2nS是母体方差D的一致估计。2.无偏估计估计的一致性是大子样所呈现的性质，当子样容量不大时，估计的这种性质就不存在。现在给出另一种对任何子样容量都适用的评价估计量的准则，没有系统偏差的性质在统计学上称作无偏性，显然它可以作为衡量一个估计量好坏的另一准则。定义：设ˆ=ˆ（2，…，n）为母体的概率函数:);(xf的未知参数的一个估计量。若对一切∈，关系式)],(ˆ[1n，E=0成立。则称),(ˆ1n，为的无偏估计，否则称为有偏的。显然，子样均值是母体E的无偏估计，子样原点矩k是母体原点矩Ek的无偏估计，子样方差2nS不是母体方差D的无偏估计。一般地，二阶或二阶以上的子样中心矩就不是母体中心矩的无偏估计。若我们取2nS=1nnE2nS=niin12)(11作为母体方差D的估计，则有E2nS=1nnE2nS=nnnn11D=D由此推出2nS是母体方差D的无偏估计。从2nS不是D的无偏估计也可看出，若1ˆ，…，kˆ是参数1，…，k的无偏估计，函数)ˆ,,ˆ(1k并不一定是),,(1k的无偏估计。由有偏估计2nS修改成无偏估计2nS是一种常用的方法，一般说来，如果ˆ是参数的有偏估计，并且Eˆ=a+b，这里a、b是常数（b0），于是我们能构造的一个无偏估计ˆ=ba。若的一个估计ˆ不一定无偏，但当n时，Eˆ,则称ˆ为的渐近无偏估计。显然，子样方差2nS=niin12)(1是母体方差的一个渐近无偏估计。3.有效估计定义：设1ˆ),,(ˆ11nXX和),,(ˆˆ122nXX都是参数,的无偏估计量，若对任意，D(1ˆ)≤D(2ˆ)且至少对于某个上式中的不等号成立，则称1ˆ较2ˆ有效。六矩法估计的优缺点矩法估计原理简单、使用方便，使用时可以不知母体的分布，而且具有一定的优良性质（如矩估计为E的一致最小方差无偏估计），因此在实际问题，特别是在教育统计问题中被广泛使用。但在寻找参数的矩法估计量时，对母体原点矩不存在的分布柯西分布如等不能用，另一方面它只涉及母体的一些数字特征，并未用到母体的分布，因此矩法估计量实际上只集中了母体的部分信息，这样它在体现母体分布特征上往往性质较差，只有在样本容量较大时，才能保障它的优良性,因而理论上讲，矩法估计是以大样本为应用对象的。参考文献：[1]魏宗舒．概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社.1983.[2]杨宗义.教育统计学[M].重庆：科技文献出版社重庆分社.1990.[3]克拉美H著.统计学教学方法.魏宗舒等译.上海：上海科学技术出版社．1966．