2012年山东专升本高等数学真题答案

第1页共8页山东省2012年普通高等教育专升本统一考试高数试卷一、单选题（共15分，每小题3分）1,.函数111xyxx++=+−的定义域为[),1,A−+∞B,11,2−C,1,2+∞D.111,,22−∪+∞2.下列各组中，两个函数为同一函数的组是A.22()31,()31fxxxgttt=+−=+−B．24(),()22xfxgxxx−==+−C．()1,()(1)fxxxgxxx=−=−D．()3,()3fxgxxx==+−3.函数yxtgx=是A．有界函数B.单调函数C.偶函数D.周期函数4.直线321021030xyzxyz+++=−−+=与平面4220xyz−+−=的关系为A.直线在平面上B.直线与平面垂直C.直线与平面平行D.直线与平面斜交5.若级数1nna∞=∑收敛，下列结论正确的是A．1nnna∞==∑收敛B.1(1)nnna∞=−∑收敛C.11nnnaa∞+=∑D.112nnnaa∞+=+∑二、填空题（共15分，每小题3分）1．函数1,0sgn0,01,0xyxxx−===的值域为第2页共8页2.设2()1xfxx=+，则[]()ffx=3.01lim(1)xxx→+=4.曲线1ln(2)yxx=+的渐近线为5.函数211xxye−=−的间断点为三、计算题（共50分，每小题5分）1.设函数[]2()sin,()1fxxfxx==−，求()x2求22111201120112011lim111201220122012nxn→∞++++3设(),xfxe=求[]21limln(1)(2)()xfffnn→∞4.111limxxe−→5.若limxxxaexa→∞+=−，试求常数a6.设()ln1.yax=+()0a），求''y7.设6(1)arctanxntyt=+=,求22dydx.8.设(ln)1fxx′=+,求()fx.第3页共8页9.若xyue=,求2uxy∂∂∂.10.求2xDedxdy∫∫,其中,D为yx=与3yx=所围区域.四.应用和证明题(每小题5分,共20分)1.求lim(1212(2))nnn→∞+++−+++−.2.在曲线2,(0)yxx=上求一点,使得曲线在该店处的切线与曲线一起x轴所围图面积为112.3.求22yxydydxx+−=的通解.4.证明:双曲线1xy=上任一点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积均相等.山东省2012年普通高等教育专升本统一考试高数答案一、选择题：DACBD二、填空题1.{}1,0,1yyyy=−==2.22xx+3.e4.21ln2yx=+5.x=0，x=2三、计算题第4页共8页1，解；因为()sinfxx=则(())sin(())fxx=又2(())1fxx=−所以sin2(())1xx=−）所以2()arcsin(1)xx=−2．解；=limn→∞11(1)20112011112012(1)2011nn−−=20122011.提示：等比数列求和公式：(1)1nnnaqsq−=−3．解；[]21limln(1).............()nffnn→∞=2ln(1)ln(2)........ln()limnfffnn→∞++=2123.........limnnn→∞+++=212limnnnn→∞+•=124解：11111lim(1)xxxeexe+++∞−−→=+∞→→+∞11111lim0(10)xxxeexe−−−∞−−→=→→左右极限不相等则111limxxe−→不存在5解：lim()xxxaxa→∞+−=2lim()xxxaaxa→∞−+−=2lim(1)xxaxa→∞+−第5页共8页=21lim(1)22xaaxxxaxaaa−→∞+•−−=lim221lim(1)2xxxaaxaaxxaa→∞−−→∞+−=2ae6解：/1ayax=+///()1ayax=+22(1)aax=−+7.解:221(arctan)111(ln(1))11dytttdxttt′++===′+++2222222222222111(1)21121(12)(1)()()111(1)(1)(1)1xtxtdyttttttttttdtttttxt+++−+⋅−−−−+′′===⋅=⋅=+++++′+8.解:令lntxtxe=⇒=则(ln)1()1tfxxfte′′=+⇒=+即()1xfxe′=+()()(1)xxfxfxdxedxxec′==+=++∫∫9.解:1xyuexy∂=⋅∂222311111()()()()()()xxxxxxyyyyyyyyyuxexyeeeeexyyyyyyyy∂+′′′=⋅=⋅+⋅=−⋅+⋅−=−∂∂第6页共8页10.解:D实为3,yxyx==,在0x所围.22310xxxxDedxdydxedy=∫∫∫∫22211133000()xxxexxdxexdxexdx=−=−∫∫∫22112220011()()22xxedxexdx=−⋅∫∫1(2)2e=−四.1.原式=12(12(2))lim()1212(2)nnnnn→∞+++−+++−+++++++−1lim(1)(1(2))222nnnnnnn→∞−+=++−⋅−+221lim(1)(2)22nnnnnn→∞−=+−−+(分子分母同除n)2=2.解:设改点处为(0)xaa=则2yx′=,切线方程为22()yaaxa−=−即22yaxa=−,与2yx=,x轴围成Y型区域,第7页共8页则面积223223202()2423120aayayayaSydyyaaa+=−=+−=∫又1112Sa=⇒=,由对称性可知1a=−也满足.综上可得1x=±3.解:21()dyyydxxx=+−即21()yyyxx′=+−令yux=,即yuxyuxu′′=⇒=+代入上式得21uxuuu′+=+−21duxudx⇒=−211dudxxu⇒=−211dudxxu=−∫∫arcsinlnxuc⇒=+即arcsinlnxycx=+4.证明:11xyyx=⇒=21yx′=−对任意一点0x切线方程为020011()yxxxx−=−−20012yxxx=−+第8页共8页对,xy轴的截距分别为0022,xx则面积0012(2)22Sxx=⋅⋅=,证毕.第1页共5页山东省2012年普通高等教育专升本统一考试高数答案一、选择题：DACBD二、填空题1.{}1,0,1yyyy=−==2.22xx+3.e4.21ln2yx=+5.x=0，x=2三、计算题1，解；因为()sinfxx=则(())sin(())fxx=又2(())1fxx=−所以sin2(())1xx=−）所以2()arcsin(1)xx=−2．解；=limn→∞11(1)20112011112012(1)2011nn−−=20122011.提示：等比数列求和公式：(1)1nnnaqsq−=−3．解；[]21limln(1).............()nffnn→∞=2ln(1)ln(2)........ln()limnfffnn→∞++=2123.........limnnn→∞+++第2页共5页=212limnnnn→∞+•=124解：11111lim(1)xxxeexe+++∞−−→=+∞→→+∞11111lim0(10)xxxeexe−−−∞−−→=→→左右极限不相等则111limxxe−→不存在5解：lim()xxxaxa→∞+−=2lim()xxxaaxa→∞−+−=2lim(1)xxaxa→∞+−=21lim(1)22xaaxxxaxaaa−→∞+•−−=lim221lim(1)2xxxaaxaaxxaa→∞−−→∞+−=2ae6解：/1ayax=+///()1ayax=+22(1)aax=−+7.解:221(arctan)111(ln(1))11dytttdxttt′++===′+++第3页共5页2222222222222111(1)21121(12)(1)()()111(1)(1)(1)1xtxtdyttttttttttdtttttxt+++−+⋅−−−−+′′===⋅=⋅=+++++′+8.解:令lntxtxe=⇒=则(ln)1()1tfxxfte′′=+⇒=+即()1xfxe′=+()()(1)xxfxfxdxedxxec′==+=++∫∫9.解:1xyuexy∂=⋅∂222311111()()()()()()xxxxxxyyyyyyyyyuxexyeeeeexyyyyyyyy∂+′′′=⋅=⋅+⋅=−⋅+⋅−=−∂∂10.解:D实为3,yxyx==,在0x所围.22310xxxxDedxdydxedy=∫∫∫∫22211133000()xxxexxdxexdxexdx=−=−∫∫∫22112220011()()22xxedxexdx=−⋅∫∫1(2)2e=−第4页共5页四.1.原式=12(12(2))lim()1212(2)nnnnn→∞+++−+++−+++++++−1lim(1)(1(2))222nnnnnnn→∞−+=++−⋅−+221lim(1)(2)22nnnnnn→∞−=+−−+(分子分母同除n)2=2.解:设改点处为(0)xaa=则2yx′=,切线方程为22()yaaxa−=−即22yaxa=−,与2yx=,x轴围成Y型区域,则面积223223202()2423120aayayayaSydyyaaa+=−=+−=∫又1112Sa=⇒=,由对称性可知1a=−也满足.综上可得1x=±3.解:21()dyyydxxx=+−即21()yyyxx′=+−令yux=,即yuxyuxu′′=⇒=+代入上式得21uxuuu′+=+−21duxudx⇒=−211dudxxu⇒=−211dudxxu=−∫∫arcsinlnxuc⇒=+即arcsinlnxycx=+第5页共5页4.证明:11xyyx=⇒=21yx′=−对任意一点0x切线方程为020011()yxxxx−=−−20012yxxx=−+对,xy轴的截距分别为0022,xx则面积0012(2)22Sxx=⋅⋅=,证毕.