《现代信号处理》题库(六)

《现代信号处理》题库(六)25、给出随机信号中相关函数的定义，并举例说明其有何用处？[百度文库]答：相关函数分为自相关函数和互相关函数。自相关函数是信号在时域中特性的平均度量，它用来描述信号在一个时刻的取值与另一个时刻取值的依赖关系，其定义为：𝑅𝑥𝑥(𝜏)=lim𝑇→∞1𝑇∫𝑥(𝑡)𝑥(𝑡+𝜏)𝑑𝑡𝑇0自相关函数的主要用途有：①检测信号回声（反射）：若在宽带信号中存在带时间延迟的t0的回声，那么该信号的自相关函数将在t=t0处也达到峰值（另一峰值在t=0处），这样可根据t0确定反射体的位置。②检测淹没在随机噪声中的周期信号：由于周期信号的自相关函数仍然是周期信号，而随机噪声信号随着延迟增加，它的自相关函数将减到零。因此，在一定延迟时间后，被干扰信号的自相关函数中就保留了周期信号的信息，从而排除了随机信号的干扰。互相关函数描述的是不同信号在任意两个时刻取值之间的相关程度，其定义式为：𝑅𝑥𝑦(𝜏)=lim𝑇→∞1𝑇∫𝑥(𝑡)𝑦(𝑡+𝜏)𝑑𝑡𝑇0互相关函数的主要用途有微弱信号的检测和互相关分析，具体如下：①确定时间延迟：加入某信号从A点传播到另一点B，那么在两点检测的信号x(t)和y(t)之间的互相关函数𝑅𝑥𝑦(𝜏),将在相当于两点间时间延迟T的位置上出现一个峰值，利用确定的延迟时间还可以测量物体运动的速度。②识别传输路径：假如从A到B有几条路径，则在互相关函数中就有几个峰值，这个用于声源和声反射路径的识别。③检测淹没在外来噪声中的信号：假如信号s(t)受到外界的干扰信号形成复合信号a(t)和b(t)，a(t)=s(t)+n(t),b(t)=s(t)+m(t),(其中n(t)和m(t)是互补相关的噪声)那么互相关函数𝑅𝑎𝑏(𝜏)将仅含有a(t)和b(t)中的相关部分s(t)的信号，而排除了外来噪声的干扰。④系统脉冲响应的测定：在随机激励试验中，假如以随机白噪声作为实验信号输入被测系统，则输入信号与输出信号的互相关函数𝑅𝑥𝑦(𝜏)就是被测系统的脉冲响应。这种测量方法的优点可以在系统正常工作过程中测量。测量时，其他信号都与实验信号无关，因而对互相关函数没有影响，从而不影响脉冲响应的测量。26、相对于Fourier变换，加窗（短时）Fourier变换有何特点？窗口应满足什么条件？（P52）答：傅里叶变换缺乏时间和频率的定位功能，而短时傅里叶变换在时域和频域内都是有限支撑的，能够实现时频定位功能。窗口满足的条件是:𝑔𝑡，Ω(τ)=𝑔(𝜏−𝑡)𝑒𝑗Ω𝜏及‖𝑔(𝜏)‖=1,‖𝑔𝑡，Ω(τ)‖=1此外，窗函数𝑔(𝜏)应取对称的实函数。27、相对于信号的谱图，Wigner分布有何优缺点？（P56、P80）答：信号的谱图是恒正的，并且始终是（t，Ω）的实函数，谱图是信号能量的分布。WVD的优点主要有：①不论x（t）是实信号还是复信号，其自WVD都是t和Ω的实函数；②信号x（t）的WVD沿频率轴的积分等于该信号在t时刻的瞬时能量，由此可以看出WVD具有能量分布性质；③WVD沿时间轴的积分等于该信号在频率Ω处的瞬时能量；④WVD可用于重建信号x（t）；⑤WVD具有很好的运算性质（移位、调制、移位加调制、时间尺度、信号相乘、信号的滤波）WVD的缺点主要表现在：①两个信号的和的WVD有交叉项存在，使得两个信号和的分布不再是两个信号各自分布的和。②由于WVD是信号能量的时间-频率的分布，因此理论上WVD应始终是正的，但实际并非如此，只能保证WVD始终是实值，但不能保证它是非负的。28、已知信号0()jtxtAe，试求该信号的Wigner分布。（P81）解：由WVD定义公式：𝑊𝑥(t，Ω)=∫𝑥(𝑡+𝜏/2)𝑥∗(𝑡−𝜏/2)𝑒−𝑗Ω𝜏𝑑𝜏+∞−∞将x(𝑡)=𝐴𝑒𝑗Ω0𝑡代入上式可得：𝑊𝑥(t，Ω)=∫𝐴𝑒𝑗Ω0(𝑡+𝜏2)𝐴∗𝑒−𝑗Ω0(𝑡−𝜏2)𝑑𝜏+∞−∞=|𝐴|2∫𝑒𝑗(Ω−Ω0)𝑑𝜏+∞−∞所以有：𝑊𝑥(t，Ω)=2𝜋|𝐴|2𝛿(Ω−Ω0)29、已知信号：1()0tTxttT，试求该信号的Wigner分布。（P80）解：由WVD定义公式：𝑊𝑥(t，Ω)=∫𝑥(𝑡+𝜏/2)𝑥∗(𝑡−𝜏/2)𝑒−𝑗Ω𝜏𝑑𝜏+∞−∞又需要确定对𝜏得积分限，由：|𝑡+𝜏2|T和|𝑡−𝜏2|T可得：−2𝑇+2𝑡𝜏2𝑇−2𝑡−2𝑇−2𝑡𝜏−2𝑇+2𝑡所以：2sin⁡[2Ω(𝑇−|𝑡|)]Ω,|𝑡|≤𝑇𝑊𝑥(t，Ω)=∫𝑒−𝑗Ω𝜏𝑑𝜏2𝑇−2𝑡−2𝑇+2𝑡=0,|𝑡|𝑇30、已知信号：2142txte，试求该信号的Wigner分布。（P83）解：由WVD定义公式：𝑊𝑥(t，Ω)=∫𝑥(𝑡+𝜏/2)𝑥∗(𝑡−𝜏/2)𝑒−𝑗Ω𝜏𝑑𝜏+∞−∞将2142txte代入上式，可得：𝑊𝑥(t，Ω)=2exp⁡(−𝛼𝑡2−Ω2/𝛼)31、1()0tTxttT，求WVD。(P80)解：（与29题一样，此处省略）32、设(,)xA为信号()xt的模糊函数，试证明(,)(0,0)xxAA【平哥讲解】证明：根据定义有如下两式：𝑟𝑥(t，τ)=𝑥(𝑡+𝜏/2)𝑥∗(𝑡−𝜏/2)…………①𝐴𝑥(θ，τ)=12π∫𝑟𝑥(t，τ)𝑒𝑗𝜃𝑡𝑑𝑡…………②将①式代入②式有：𝐴𝑥(θ，τ)=12π∫𝑥(𝑡+𝜏2)𝑥∗(𝑡−𝜏2)𝑒𝑗𝜃𝑡𝑑𝑡|𝐴𝑥(θ，τ)|2=|12π∫𝑥(𝑡+𝜏2)𝑥∗(𝑡−𝜏2)𝑒𝑗𝜃𝑡𝑑𝑡|2根据施瓦兹不等式有：|𝐴𝑥(θ，τ)|2≤|12π∫|𝑥(𝑡+𝜏2)|𝑑𝑡∗∫|𝑥∗(𝑡−𝜏2)||𝑒𝑗𝜃𝑡|𝑑𝑡|2且有|𝑒𝑗𝜃𝑡|=1从而上式可以写为：|𝐴𝑥(θ，τ)|2≤|12π∫|𝑥(𝑡+𝜏2)|2𝑑𝑡∗12π∫|𝑥∗(𝑡−𝜏2)|2𝑑𝑡|…………③由𝐴𝑥(θ，τ)=12π∫𝑥(𝑡+𝜏2)𝑥∗(𝑡−𝜏2)𝑒𝑗𝜃𝑡𝑑𝑡，令θ=0，τ=0，则有：𝐴𝑥(0，0)=12π∫𝑥(𝑡)𝑥∗(𝑡)𝑑𝑡=12π∫|𝑥(𝑡)|2𝑑𝑡=12π∫|𝑥∗(𝑡)|2𝑑𝑡再令③式不等式左边的τ=0，则有：|𝐴𝑥(θ，τ)|2≤|12π∫|𝑥(𝑡)|2𝑑𝑡∗12π∫|𝑥∗(𝑡)|2𝑑𝑡|=𝐴𝑥(0，0)2所以：𝐴𝑥(θ，τ)≤𝐴𝑥(0，0)得证。