随机过程-答案

2012-2013学年第一学期统计10本《随机过程》期中考试一.填空题1．设马氏链的一步转移概率矩阵()ijPp，n步转移矩阵()()nijPp，二者之间的关系为(n)nPP2.状态i常返的充要条件为0niinp。3.在马氏链,0nXn中，记()nijp=0,11,nPXmjmnXjXi，n1.ijp=1nijnp,若ijp1,称状态i为。二.判断题1.S是一个可数集，{:0nn}是取值于S的一列随机变量，若1011100111111,,...,(,...,)nnnnnnnnnnnniiSPiXiXiXiPii并且满足，则{:0nn}是一个马氏链。×2.任意状态都与它最终到达的状态是互通的，但不与它自己是互通的。×3.一维与二维简单随机游动时常返的，则三维或更高维的简单随机游动也是常返的。×4.若状态i状态j，则i与j具有相同的周期。√5.一个有限马尔科夫链中不可能所有的状态都是暂态。√三.简答题1．什么是随机过程，随机序列？答：设T为[0，+）或（-，+），依赖于t(tT)的一族随机变量（或随机向量）{t}通称为随机过程，t称为时间。当T为整数集或正整数集时，则一般称为随机序列。2.什么是时齐的独立增量过程？答：称随机过程{t：t0}为独立增量过程，如果对于01,0,nnttt起始随机变量及其后的增量sts是相互独立的随机变量组；如果sts的分布不依赖于s,则此独立增量过程又称为时齐的独立增量过程。3.由4个状态组成的马氏链的转移概率矩阵000.50.5100001000010P，确定哪些状态是暂态，哪些状态是常返态？4.考虑由状态0,1,2,3,4组成的马尔科夫链，而0.50.50000.50.5000000.50.50000.50.500.250.25000.5P，确定常返态？5.设有四个状态I=0123，，，的马氏链，它的一步转移概率矩阵1100221100P=221111444400011)对状态进行分类；2)对状态空间I进行分解。解：1)33303132p1,ppp而，，均为零，所以状态3构成一个闭集，它是吸收态，记1C=3；0，1两个状态互通，且它们不能到达其它状态，它们构成一个闭集，记2C=01，，且它们都是正常返非周期状态；由于状态2可达12CC，中的状态，而12CC，中的状态不可能达到它，故状态2为非常返态，记D=2。2）状态空间I可分解为：12E=DCC3)四.计算题1.说是有一位赌徒，他去赌博带有赌资100元，而对手有200元赌资，他们的规则是每次下注五元，每次赢五元或输五元的概率相等,5P=5P=1/2.当赌徒破产或完胜时停止赌博。问：（1）该赌徒完胜和破产的概率分别是什么？（2）赌博结束时，该赌徒平均能赢多少钱？（3）这场赌博平均要用多长时间？解：（1）由题可得，m=100.M=300.则完胜时:100300mPSmPS=m/M=100/300=1/3,破产时：100()0130011/32/3mPSmPSS(2):1000*0*100mmmSESPSMPSMm（元）2.设子代分布为二项分布B(2，1/2).考察相应的分支过程{:0nn}及其灭绝时间，求灭绝概率解：由子代分布为二项分布B(2，1/2)，可得：Pk=kknknCpq=P0=1/4，P1=1/2，P2=1/4.又知f()=20iiiP=1/4+1/2+1/42解得：=13.设马尔科夫链的转移概率矩阵为:0.30.7000.20.80.700.3P(1).求两步转移概率矩阵(2)P及当初始分布为011PX，00230PXPX时，经两步转移后处于状态2的概率。（2）求马尔科夫链的平稳分布。：4.设马尔科夫链的状态空间I={1,2,3,4,5}，转移概率矩阵为：0.30.40.3000.60.4000010000000.30.70000.10P求状态的分类，各常返闭集的平稳分布及各状态平均返回时间。解：（1）状态分类1C={1,2,3}；2C={4,5}（2）由常返闭集的定义可知，常返集有两个，下面分别求其平稳分布及各状态的平均返回时间。A对的常返闭集而言解方程组1122123311230.30.60.40.40.31解上述方程组的平稳分布为12330359,,747474各状态的平均返回时间为123123174174174,,30359tttB对的常返闭集而言解方程组11221120.30.71解上述方程组的平稳分布为12107,1717各状态的平均返回时间为1212117117,107tt5.若012111,,244PPP,它的灭绝概率为0,且'''012111,,442PPP,它的灭绝概率为'0.求:(1)0的值；（2）'0的值；（3）假定它们的初始时由n个个体组成，分别求出两者的总体灭绝的概率。解：（1）由于31,4所以0=1；（2）'0满足'0=''200111444解得这个二次方程的最小的正解是'0=12。（3）因为总体灭绝当且仅当初始代的每个成员的家庭都灭绝，要求的概率是0n。则0n=1，'0n=12n6．小张的宾馆刚开张不久，入住的家庭数是均值为的随机变量，再假定一个家庭在宾馆停留的天数是参数为(01)PP的几何随机变量，（于是在前一个晚上留在宾馆的一个家庭，独立于已经在宾馆呆了多久，将在第二天以概率P退房），再假定所有的家庭是彼此独立的，在这些条件下容易看出，如果以nX记在第n天开始入住宾馆的家庭数，那么{nX，n0}是马尔科夫链。求：此马尔科夫链的转移概率。解：为了求,ijP，我们假定在一天开始是宾馆中有i个家庭，因为这i个家庭将以概率q=1-q再呆一天，由此推出这i个家庭中再留一天的家庭数iR是二项（i,q）随机变量。所以，以N记这天新入住的家庭数，我们看到,()ijiPPRNj对于iR取条件，并且利用N是均值为的泊松随机变量，我们得到,0(|)ikikijiikiPPRNiRkqpk0(|)ikikikiPNjkRkqpkmin(,)0()ijkikkiPNjkqpkmin(,)0()!jkijkikkieqpkjk7.设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。又设今天下雨而明天也下雨的概率为，而今天无雨明天有雨的概率为；规定有雨天气为状态0，无雨天气为状态1。设0.7,0.4，求今天有雨且第四天仍有雨的概率。解：由题设条件，得一步转移概率矩阵为00011011pp0.70.3P=pp0.40.6，于是(2)0.610.39PPP=0.520.48，四步转移概率矩阵为(4)(2)(2)0.57490.4251PPP0.56680.4332，从而得到今天有雨且第四天仍有雨的概率为(4)00P0.5749。8.一质点在1,2,3三个点上作随机游动，1和3是两个反射壁，当质点处于2时，下一时刻处于1,2,3是等可能的。写出一步转移概率矩阵，判断此链是否具有遍历性，若有，求出极限分布。解：一步转移概率矩阵010111P=333010，9．设马尔科夫链的状态空间为0,1,2I,一步转移概率矩阵为0.50.40.10.30.40.30.20.30.5P，求其相应的极限分布。解：设其极限分布012(,,),由W=WP得到方程组0120012101220120.50.30.20.40.40.30.10.30.51解方程组得到：01221239,,.62623110.设马氏链的转移概率矩阵为P，求该马氏链的平稳分布及各状态的的平均返回时间？0.70.10.20.10.80.1P11.设有时齐次的马氏链转移概率矩阵为P，讨论其马氏性，并求其平稳分布。1001P解马氏链的状态空间为I={1,2}，均为吸收态，状态空间可分解为两个闭集之和，I={1}+{2}，故其是不可约的马氏链，10P==PP…P=P(n),01所以状态1和状态2都是非周期的，且有LimP11(n)=1不等于LimP21(n)=0,LimP12(n)=0不等于LimP22(n)=1，故不是遍历链，但由A=AP得A=(A1A2),A1+A2=1故A1=A1，A2=A2,可见平稳吩咐是存在的，且有无穷多个12.设｛:0}nXn是一个马氏链，111333(2)2711999111333,PP(2)ijp由0知，此链有遍历性；,,123设极限分布=，115331351511123221233方程组试证：00100111,...,()()nnPXiXiXiPXiXi