第三章：火箭的运动方程

第三章火箭的运动方程为了严格、全面的描述远程火箭的运动，提供准确的运动状态参数，需要建立准确的空间运动方程及相应的空间弹道计算方程。3.1远程火箭矢量形式的动力学方程3.1.1质心动力学方程式（1.58）给出了任一变质量质点系在惯性坐标系中的质心动力学矢量方程：22cmskreldmdt⋅′′=++rFFF（3.1）作用在火箭上的引力矢量；作用在火箭上的气动力矢量；发动机推力静分量矢量；作用在火箭上的控制力矢量。sstcm=+++FgRPF考虑到将附加相对力与发动机推力静分量合成为推力，见式(2.32）。则可得火箭在惯性坐标系中以矢量描述的质心动力学方程（为书写方便，以后均写成）（3.2）22Ckdmmdt′=++++rPRFgF3.1.2绕质心转动的动力学方程由变质量质点系的绕质心运动方程式（1.71）：（3.3）为作用在火箭上的气动力矩；为控制力矩；为火箭相对大气有转动时引起阻尼力矩。我们即可得到用矢量描述的火箭绕质心转动的动力学方程为：（3.4）()TTTstcdrelkddt′′⋅+×⋅=++++ωIωIωMMMMM()TTTcmkrelddt⋅′′⋅+×⋅=++ωIωIωMMMcmstcd⋅=++MMMM3.2地面发射坐标系中空间弹道的方程用矢量描述的火箭质心动力学方程和绕心转动的动力学方程给人以简洁、清晰的概念，但对这些微分方程求解还必须将其投影到选定的坐标系中来进行。通常是选择地面发射坐标系为描述火箭运动的参考系，该坐标系是定义在将地球看作以角速度进行自转的两轴旋转椭球体上的。eω3.2.1地面发射坐标系中的质心动力学方程由于地面发射坐标系为一动参考系，其相对于惯性坐标系以角速度转动，故由矢量导数法则可知：将其代入式（3－1－2）并整理得：（3.5）22222()eeedmmmmdtttδδδδ=+×+××rrrωωωreω22()2ckeeemmmmttδδδδ′=++++−××−×rrPRFgFωωrω将上面等式各项在地面发射坐标系中分解：1.相对加速度项（3.6）22xyzdvdtdvtdtdvdtδδ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦r2．推力项由式（2.32）知，推力在弹体坐标系内描述形式昀简单，即（3.7）已知弹体坐标系到地面坐标系的方向余弦阵［附录］可得推力在地面发射坐标系的分量为：（3.8）()0000eeeHmuSppP−+−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦P00xyBzPPPP⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦G3．气动力项已知火箭飞行中所受气动力在速度坐标系中的分量为速度坐标系到地面坐标系的方向余弦阵可查附录A，则气动力在地面坐标系的分量为（3.9）xMxyVVyMzyMCqSRXRYCqSZRCqSαααβ⎡⎤−⎡⎤−⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦−⎣⎦⎢⎥⎣⎦GGXYZ−⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦R4．控制力项由2.3节内容已知无论执行机构是燃气舵或不同配置形式的摇摆发动机，均可将控制力以弹体坐标系的分量表示为同一形式：（3.10）而各力的具体计算公式则根据采用何种执行机构而定，因此控制力在地面坐标系的三分量不难用下式求得：（3.11）111ccccXYZ−⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦F111cxccyBccczFXFYZF⎡⎤−⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦G5．引力项根据式00reemmgmgω′=+grω222()sineeafMgJrrωφ=−222[1()(15sin)]erafMgJrrφ′=−+−由图3－1可知，任一点地心矢径为（3.12）为发射点地心矢径，为发射点到弹道上任一点的矢径。0=+rRρ在发射坐标系上的三分量可由图3－1求得：（3.13）为发射方位角，为发射点地理纬度与地心纬度之差，由于假设地球为一两轴旋转椭球体，故可由子午椭圆方程求取：000Bμφ=−0A00000000sincoscossinsinoxoyozRRARRRARμμμ⎡⎤−⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦0μ0222200sincoseeeeabRabφφ=+在发射坐标系的三分量为。由式（3.12）可得在发射坐标系的分量为（3.14）xyz、、ρ0r0000000yxzyRxRzRrrr+++=++rxyz在发射坐标系的三分量可写成：（3.15）和之间有如下关系，见图3.1（3.16）00000coscossincossinexeyeezBABBAωωωω⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦0000eyexezeeeeωωωωωω=++ωxyzexeyezωωω、、0eωeω于是可将式（2.27）写成发射坐标系分量形式：（3.17）xoxexeryoyeyzozezgxRggmgmyRmrgzRωωωωω⎡⎤⎡⎤⎡⎤+′⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦6．附加哥氏力项由式（2.16）为箭体相对于惯性（或平移）坐标系的转动角速度矢量，它在箭体坐标系的分量可表示为为质心到喷口中心点距离，即011eex=−ρx2kTem′=−×Fωρ111[]TTTxTyTzωωω=ωTωeρ因此可得在箭体坐标系的三分量：（3.18）从而在发射坐标系中的分量可由下式来描述：（3.19）111kxkxkyBkykzkzFFFFFF′′⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥′′=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥′′⎣⎦⎣⎦G11111102kxkyeTzTykzFFmxFωω′⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥′=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−′⎣⎦⎣⎦k′F7．离心惯性力项记（3.20）为牵连加速度。根据式（3.16），并注意到则牵连加速度在发射坐标系中的分量形式为（3.21）111213212223313233exoxeyoyezozaxRaaaaaaayRaaaazR⎡⎤⎡⎤+⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦()eee=××aωωr000()()()oxoyozxRyRzR=+++++rxyz其中则离心惯性力在发射坐标系上的分量为（3.22）exexeyeyezezFaFmaFa⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦221112212222233222331331,,,exeexeyeyeeyezezeezexaaaaaaaaaωωωωωωωωωωωω=−===−===−==8．哥氏惯性力项记（3.23）为哥氏加速度为火箭相对于发射坐标系的速度，即有（3.24）并注意到式（3.16），则式（3.23）可写为（3.25）[]Txyztδδ=r2ketδδ=×raωtδδr111213212223313233kxkykzabbbxabbbybbbza⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦其中从而可得哥氏惯性力在发射坐标系的分量形式为（3.26）1122331221311323320222ezeyezbbbbbbbbbωωω====−=−=−=−=−=−kxkxkykykzkzFaFmaFa⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦将式（3.6）、（3.8）、（3.9）、（3.11）、（3.17）、（3.19）、（3.22）、（3.26）代入式（3.5），并令（称为有效推力），则在发射坐标系中建立的质心动力学方程为：（3.27）1ec=−PPX1111111112132122xxMeyBcTzevyMcTyeyMzoxexreoyeyeozezdvdtCqSPdvmYmxCqSdtZmxCqSdvdtxRaaaggmyRmmarzRααωωαωβωωωω⎡⎤⎢⎥⎡⎤−⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎢⎥−⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤+′⎢⎥⎢⎥+++−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦GG1112132223212223313233313233oxoyozxRbbbxaayRmbbbyaaazRbbbz+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦3.2.2绕质心转动动力学方程在箭体坐标系的分解将式（3.4）的各项在箭体坐标系内进行分解。()TTTstcdrelkddt′′⋅+×⋅=++++ωIωIωMMMMM由于箭体坐标系为中心惯量主轴坐标系，因此惯量张量式可简化为（3.28）111000000xyzIII⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦I由气动计算可得静稳定力矩、阻尼力矩在箭体坐标系中各分量表达式：111111111111xyzxxMkxdydydyMkzdzzMkmqSlMMmqSlMmqSlωωωωωω⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦M111100stystyMkzMkzstMmqSlmqSlMβαβα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅⎣⎦⎣⎦M由于控制力矩与所采用的执行机构有关，这里以燃气舵作为执行机构，则其控制力矩即如式（2.141）（2.143）所示：1112()()cxccyccgzccgRrMMRxxMRxxγψϕδδδ′⎡⎤−⎡⎤⎢⎥⎢⎥′==−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥′−−⎣⎦⎣⎦M附加相对力矩及附加哥氏力矩其矢量表达式为式（2.29）：注意到在标准条件下，即发动机安装无误差，其推力轴线与箭体轴平行，则附加相对力矩为0，而如果控制系统中采用摇摆发动机为执行机构，该附加相对力矩即为控制力矩，其表达式如式（2.146），因此，此处不再列写。()kTeTemtδδ′=−⋅−××IMωρωρreleem′=−×Mρu附加力矩向箭体坐标系分解时，只要注意到则不难写出011eex=−ρx1121111211110xTxkyTyeTyzTzeTzIImxIxωωωωω⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥′=−+−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦M则式（3.4）即可写成箭体坐标系内的分量形式：（3.29）1111111111111111111111111111()0000()00()0xyzTxzyTzTyxTyyxzTxTzzyxTyTxTzxxMKyyMKyMKzMKzMKddtIIIdIIIdtIIIddtmqSlmqSlmqSlmqSlmqSlωωβαωωωωωωωωωωωβωα⎡⎤⎢⎥−⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥=⋅+⎢⎥⎢⎥⋅⎣⎦11121111211112()()0ccgcgzxTxyTyeTyeTzzTzRrRxxRxxIImxxIγψϕδδδωωωωωω⎡⎤′⎡⎤−⎢⎥⎢⎥⎢⎥′+−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥′−−⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−+−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦3.2.3补充方程上面所建立的质心动力学方程和绕质心转动的动力学方程，其未知参数个数远大于方程的数目，因此要求解火箭运动参数还必须补充有关方程。1．运动学方程质心速度与位置参数关系方程（3.30）xyzdxvdtdyvdtdzvdt⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩火箭绕平移坐标系转动角速度在箭体坐标系的分量，由于（3.31）则不难得到（3.32）原则上可由此解得。TTTT=++ωϕψγT1Ty11sincoscossincoscossinxTTTTTTTTTzTTTTTωγϕψωψγϕψγωϕψγψγ⎧=−⎪=+⎨⎪=−⎩TTTϕψγ、、箭体相对于地球的转动角速度与箭体相对于惯性（平移）坐标系的转动角速度以及地球自转角速度之间：（3.33）在地面发射坐标系内的三个分量为（3.34）为x轴与北方的夹角，为地心纬度。则在箭体坐标系的投影分量表示为（3.35）0αTe=−ωωω00000coscossincossinexeyeezωφαωωφωφα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦Tω0φeω111111xTxexyTzGeyzTxezωωωωωωωωω⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦Bωeωω2．控制方程式（2.134）已给出控制方程的一般方程：3．欧拉角之间的联系方程考虑到地球转动与的联系方程为（3.36）其中可由上式解得TTTϕψγ、、cossinsincosTezT