《计数原理》单元测试题

1《计数原理》单元测试题一、选择题1．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法共有（）A．10种B．20种C．25种D．32种2．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（）A．36种B．48种C．96种D．192种3.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）A．1440种B．960种C．720种D．480种4.某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（）A．2142610CA个B．242610AA个C．2142610C个D．242610A个5．（x－2y）10的展开式中x6y4项的系数是()A.840B.－840C.210D.－2106.由数字0，1，2，3，4，5可以组成无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数有()A.72B.60C.48D.527.用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12340应是第（）个数.A.6B.9C.10D.88.AB和CD为平面内两条相交直线，AB上有m个点，CD上有n个点，且两直线上各有一个与交点重合，则以这m+n-1个点为顶点的三角形的个数是()A.2121mnnmCCCCB.21121mnnmCCCCC.21211mnnmCCCCD.2111211mnnmCCCC9.设10102210102xaxaxaax,则292121020aaaaaa的值为()2A.0B.-1C.1D.10．某城市的街道如图，某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有()A.8种B.10种C.12种D.32种11．从6个正方形拼成的12个顶点(如图)中任取3个顶点作为一组，其中可以构成三角形的组数为()A．208B．204C．200D．19612.从不同号码的五双靴中任取4只，其中恰好有一双的取法种数为（）A.120B.240C.360D.72二、填空题13.今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有种不同的方法（用数字作答）.14.用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2相邻的偶数有个（用数字作答）．15.若(2x3+x1)n的展开式中含有常数项，则最小的正整数n=.16.从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_____种。（用数字作答）三、解答题17．从4名男生,3名女生中选出三名代表(1)不同的选法共有多少种?(2)至少有一名女生的不同的选法共有多少种?(3)代表中男、女生都要有的不同的选法共有多少种?（第10题）（第11题）318．平面内有12个点，其中有4点共线，此外再无任何3点共线，以这些点为顶点可得到多少个不同的三角形？19．六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（l）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙之间间隔两人；（5）甲、乙站在两端；（6）甲不站左端，乙不站右端．20．把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列.（1）43251是这个数列的第几项？（2）这个数列的第96项是多少？（3）求所有五位数的各位上的数字之和（4）求这个数列的各项和.421.在的展开式中，如果第4r项和第r+2项的二项式系数相等。（1）求r的值；（2）写出展开式中的第4r项和第r+2项。22.求证：能被25整除。5第一章计数原理单元测试题参考答一、选择题：（每题5分，共60分）1、D2、C解析．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有23344496CCC种，选C3、B解析：5名志愿者先排成一排，有55A种方法，2位老人作一组插入其中，且两位老人有左右顺序，共有5524A=960种不同的排法，选B4、A解析：某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有2142610CA个，选A5、A6、B解析:只考虑奇偶相间,则有33332AA种不同的排法,其中0在首位的有3322AA种不符合题意,所以共有33332AA603322AA种.7、C解析:比12340小的分三类:第一类是千位比2小为0,有633A个;第二类是千位为2,百位比3小为0,有222A个;第三类是十位比4小为0,有1个.共有6+2+1=9个,所以12340是第10个数.8、D解析:在一条线上取2个点时,另一个点一定在另一条直线上,且不能是交点.9、C10、B11、C12、A解析:先取出一双有15C种取法,再从剩下的4双鞋中取出2双,而后从每双中各取一只,有121224CCC种不同的取法,共有15C120121224CCC种不同的取法.二、填空题(每小题4分，共16分）13、1260解析：由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有4239531260CCC14、24解析：可以分情况讨论：①若末位数字为0，则1，2，为一组，且可以交换位置，3，4，各为1个数字，共可以组成33212A个五位数；②若末位数字为2，则1与它相邻，其余3个数字排列，且0不是首位数字，则有2224A个五位数；③若末位数字为4，则1，2，为一组，且可以交换位置，3，0，各为1个数字，且0不是首位数字，则有222(2)A=8个五位数，所以全部合理的五位数共有24个615、7解析：若(2x3+x1)n的展开式中含有常数项，311(2)()nrnrrrnTCxx为常数项，即732rn=0，当n=7，r=6时成立，最小的正整数n等于7.16、36种解析．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，先从其余3人中选出1人担任文娱委员，再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，不同的选法共有123434336CA种三、解答题17.解：（1）即从7名学生中选出三名代表，共有选法3735C种；（2）至少有一名女生的不同选法共有122133434331CCCCC种；（3）男、女生都要有的不同的选法共有33374330CCC种。18.解：把从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准。第一类：共线的4点中有两点为三角形的顶点，共有：（个）；第二类：共线的4点中有一点为三角形的顶点，共有（个）；第三类：共线的4点中没有点作为三角形的顶点，共有：（个）。由分类计数原理知，共有三角形：（个）。答：可得到216个不同的三角形。19.解析：（l）方法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列有种站法，根据分步乘法计数原理共有站法480（种）方法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有种站法，然后中间4人有种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法480（种）方法三：若对甲没有限制条件共有种站法，甲在两端共有种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即得所求的站法数，共有480（种）（2）方法一：先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，有种站法，再把甲、乙进行全排列，有种站法，根据分步乘法计数原理，共有240（种）站法．方法二：先把甲、乙以外的4个人作全排列，有种站法，再在5个空档中选出一个供甲、乙放入，有种方法，最后让甲、乙全排列，有种方法，共有240（种）7（3）因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的4个人站队，有种；第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档（含两端）中，有种，故共有站法为=480（种）.也可用“间接法”，6个人全排列有种站法，由（2）知甲、乙相邻有240种站法，所以不相邻的站法有－720－240＝480（种）．(4)方法一：先将甲、乙以外的4个人作全排列，有种，然后将甲、乙按条件插入站队，有种，故共有种站法．方法二：先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有种，然后把甲、乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列有种方法，最后对甲、乙进行排列，有种方法，故共有144种站法．（5）方法一：首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有种，再让其他4人在中间位置作全排列，有种，根据分步乘法计数原理，共有种站法．方法二：首先考虑两个特殊位置，甲、乙去站有种站法，然后考虑中间4个位置，由剩下的4人去站，有种站法，由分步乘法计数原理共有种站法．（6）方法一：甲在左端的站法有种，乙在右端的站法有种，且甲在左端而乙在右端的站法有种，共有种站法．方法二：以元素甲分类可分为两类：①甲站右端有种，②甲在中间4个位置之一，而乙不在右端有种，故共有=504种站法．20.解：⑴先考虑大于43251的数，分为以下三类第一类：以5打头的有：44A=24第二类：以45打头的有：33A=6第三类：以435打头的有：22A=2故不大于43251的五位数有：8822334455AAAA（个）即43251是第88项.⑵数列共有A=120项，96项以后还有120-96=24项，即比96项所表示的五位数大的五位数有24个，所以小于以5打头的五位数中最大的一个就是该数列的第96项.即为45321.（3）因为1，2，3，4，5各在万位上时都有44A个五位数，所以万位上各个数字的和为：（1+2+3+4+5）·44A同理它们在千位、百位、十位、个位上也都有个44A五位数，所有五位数的各位上的8数字之和5·（1+2+3+4+5）·44A=1800（4）因为1，2，3，4，5各在万位上时都有44A个五位数，所以万位上数字的和为：（1+2+3+4+5）·44A·10000同理它们在千位、百位、十位、个位上也都有44A个五位数，所以这个数列各项和为：（1+2+3+4+5）·44A·（1+10+100+1000+10000）21.解：（1）展开式第4r项的二项式系数为，第r+2项的二项式系数为，根据二项式系数的性质，当且仅当或时它们的二项式系数相等，解得（舍），。（2）当r=4时第4r项是；第r+2项是。22.证明:因为45322nnn4564nn45154nn45155555.41222211nCCCCnnnnnnnnnnCCCnnnnnnn255555.4222211显然2222115555nnnnnnnCCC能被25整除,25n能被25整除,所以45322nnn能被25整除