解三角形经典例题与解答

...专业资料.正弦、余弦定理知识回顾：1、直角三角形中，角与边的等式关系：在RtABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sinaAc，sinbBc，又sin1cCc，从而在直角三角形ABC中，sinsinsinabcABC．2、当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=sinsinaBbA，则sinsinabAB，同理可得sinsincbCB，从而sinsinabABsincC．3、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的的比相等，即sinsinabABsincC．4、理解定理（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使sinakA，，sinckC；（2）sinsinabABsincC等价于，sinsincbCB，sinaAsincC．（3）正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sinsinbAaB；b．②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinsinaABb；sinC．（4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形．5、知识拓展sinsinabAB2sincRC，其中2R为外接圆直径.6、勾股定理：7、余弦定理：三角形中平方等于减去的两倍，即2a；2b；2c。8、余弦定理的推论：Acos；Bcos；Ccos。9、在，反之成立；则中，若,222cbaABC...专业资料.，反之成立；则中，若,222cbaABC，反之成立；则中，若,222cbaABC典型例题：例1、在ABC中，已知45A，60B，42acm，解三角形．例2、（1）在△ABC中，已知a=2,b=2,c=31＋求cosB.（2）在△ABC中，已知a=33,c=2、B=1500求b.（3）在△ABC中，已知a=8,b=42、B=300求c.例3、在CAacBbABC,,1,60,30和求中，...专业资料.解：∵21360sin1sinsin,sinsin0bBcCCcBb00090,30,,60,BCCBCBcb为锐角，∴222cba例4、CBbaAcABC,,2,45,60和求中，解：23245sin6sinsin,sinsin0aAcCCcAa0012060,sin或CcaAc1360sin75sin6sinsin,75600000CBcbBC时，当，1360sin15sin6sinsin,151200000CBcbBC时，当或0060,75,13CBb00120,15,13CBb例5、在△ABC中，求证：)coscos(aAbBcabba证明：将acbcaB2cos222，bcacbA2cos222代入右边得右边2222222222()222acbbcaabcabcabcab22abababba左边，∴)coscos(aAbBcabba例6、在锐角△ABC中，求证：CBACBAcoscoscossinsinsin证明：∵△ABC是锐角三角形，∴,2AB即022AB∴sinsin()2AB，即sincosAB；同理sincosBC；sincosCA∴CBACBAcoscoscossinsinsin例7、在△ABC中，求证：2cos2cos2cos4sinsinsinCBACBA。...专业资料.证明：∵sinsinsin2sincossin()22ABABABCAB2sincos2sincos2222ABABABAB2sin(coscos)222ABABAB2cos2coscos222CAB4coscoscos222ABC∴2cos2cos2cos4sinsinsinCBACBA例8、在△ABC中，若0120BA，则求证：1cabcba。证明：要证1cabcba，只要证2221aacbbcabbcacc，即222abcab而∵0120,AB∴060C2222220cos,2cos602abcCabcababab∴原式成立。例9、在△ABC中，若223coscos222CAbac，则求证：2acb证明：∵223coscos222CAbac∴1cos1cos3sinsinsin222CABAC即sinsincossinsincos3sinAACCCAB∴sinsinsin()3sinACACB即sinsin2sinACB，∴2acb例10、在△ABC中，若)sin()()sin()(2222BAbaBAba，请判断三角形的形状。...专业资料.解：22222222sin()sincossin,sin()cossinsinabABaABAabABbABBcossin,sin2sin2,222cossinBAABABABAB或2∴等腰或直角三角形例11、中，abc、、分别为内角ABC、、的对边，且2sin(2)sin(2)sinaAbcBcbC（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若sinsin1BC，试判断ABC的形状.解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得cbcbcba)2()2(22即bccba222由余弦定理得Abccbacos2222故120,21cosAA（Ⅱ）由（Ⅰ）得.sinsinsinsinsin222CBCBA又1sinsinCB，得21sinsinCB因为900,900CB，故BC所以ABC是等腰的钝角三角形。例12、在ABC内接于半径为R的圆，且,sin)2()sin(sin222BbaCAR求△ABC的面积的最大值。解：2sinsin2sinsin(2)sin,RAARCCabB222sinsin(2)sin,2,aAcCabBacabb...专业资料.222222022,cos,4522abcabcabCCab2222,2sin2,22,sincRcRCRabRabC22222222,22RRabababab21222sin,24422RSabCab2max212RS例13、ABC的三边cba且2,2CAbca，求::abc解：sinsin2sin,2sincos4sincos2222ACACACACACB12147sincos,cos,sin2sincos222424224BACBBBB3,,,24242BBACACBAC33371sinsin()sincoscossin4444ABBB71sinsin()sincoscossin4444CBBB::sin:sin:sinabcABC)77(:7:)77(例14、C中，BC=a,AC=b,a,b是方程02322xx的两个根，且2cos(A+B)=1求（1）角C的度数（2）AB的长度（3）△ABC的面积解：（1）cosC=cos[(A+B)]=cos(A+B)=21∴C=120（2）由题设：232baba∴AB2=AC2+BC22AC•BC•osC120cos222abbaabba22102)32()(22abba即AB=10...专业资料.（3）S△ABC=2323221120sin21sin21abCab课后小结：1.正弦定理：sinsinabABsincC2.正弦定理的证明方法：①三角函数的定义，还有②等积法，③外接圆法，④向量法.3．应用正弦定理解三角形：①已知两角和一边；②已知两边和其中一边的对角．课后练习：一、选择题1．在△ABC中，若0030,6,90BaC，则bc等于（）A．1B．1C．32D．322．若A为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（）A．AsinB．AcosC．AtanD．Atan13．在△ABC中，角,AB均为锐角，且,sincosBA则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（）A．2B．23C．3D．325．在△ABC中，若Babsin2，则A等于（）A．006030或B．006045或...专业资料.C．0060120或D．0015030或6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（）A．090B．0120C．0135D．0150二、填空题1．在Rt△ABC中，090C，则BAsinsin的最大值是_______________。2．在△ABC中，若Acbcba则,222_________。3．在△ABC中，若aCBb则,135,30,200_________。4．在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC7∶8∶13，则C_____________。5．在△ABC中，,26AB030C，则ACBC的最大值是________。三、解答题15．在△ABC中，已知2b，c=1，45B，求a，A，C．16．在△ABC中，a+b=1，A=600，B=450，求a，b...专业资料.17.在△ABC中，123ABCS，48ac，2ac，求b.18.如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC=600，AC=7，AD=6，S△ADC=2315，求AB的长.19、BC中，AB＝5，AC＝3，D为BC中点，且AD＝4，求BC边长奎屯王新敞新疆解：设BC边为ｘ，则由D为BC中点，可得BD＝DC＝2x，在△ADB中，cosADB＝,2425)2(42222222xxBDADABBDAD在△ADC中，cosADC＝.2423)2(42222222xxDCADACDCAD又∠ADB＋∠ADC＝180°∴cosADB＝cos（180°－∠ADC）＝－cosADC奎屯王新敞新疆60021DCBA...专业资料.∴2423)2(42425)2(4222222xxxx解得，ｘ＝2,所以，BC边长为2奎屯王新敞新疆一、选择题1.C00tan30,tan3023,244,23bbacbcba2.A0,sin0AA3.Ccossin()sin,,22AABAB都是锐角，则,,222ABABC4.D作出图形5.D012sin,sin2sinsin,sin,302baBBABAA或01506.B设中间角为，则22200005871cos,60,180601202582为所求二、填空题1.1211sinsinsincossin222ABAAA2.012022201cos,12022bcaAAbc3.2600sin6215,,4sin4sin154sinsinsin4abbAAaAABB4.0120a∶b∶csinA∶sinB∶sinC7∶8∶13，令7,8,13akbkck22201cos,12022abcCCab5.4,,sinsinsinsinsinsinACBCABACBCABBACBACACBC2(62)(sinsin)4(62)sincos22ABABAB