坐标变换与电机统一理论

第5章坐标变换与电机统一理论-1-第5章坐标变换与电机统一理论5.1坐标变换理论5.2电机统一理论5.3直流电动机模型5.4交流异步电动机模型5.5交流同步电动机模型第5章坐标变换与电机统一理论-2-电机种类很多，普通的就有直流电机、交流异步电机和交流同步电机，还有许许多多的特种电机或控制电机。这些电机虽然结构各异，但在电磁本质上却都是一种具有相对运动的耦合电路，因此其数学模型的建立应具有相似性或统一性。坐标变换理论和电机统一理论就是建立电机通用数学模型的基础。第5章坐标变换与电机统一理论-3-5.1坐标变换理论坐标变换是一种线性变换（线性代数），在高等数学里已初步涉及到这些内容，不过那里只限于平面坐标的变换，并且变换也只在同一平面内进行，原坐标系与新坐标系之间无相对运动，问题比较简单，内容容易理解。对电动机做系统分析时，所用的坐标变换，其内容就十分丰富，不仅可以将坐标系统扩展为n维空间，还可以将原坐标变换到另一个旋转平面上的坐标，或者由笛卡儿平面坐标变换到复平面坐标。这些理论与方法都是针对电动机这种复杂机电系统的实情所做出的对策，在电机学科的发展史上具有划时代的重要意义。第5章坐标变换与电机统一理论-4-5.1.1线性变换简介线性变换的定义是：对于某一组变量，用另一组新的变量去代替，这些新变量与原变量之间有着线性的关系，表现为一组线性方程，即nxxx,,,21nxxx',,','21（5-1）11111221221122221122'''''''''nnnnnnnnnnxcxcxcxxcxcxcxxcxcxcx第5章坐标变换与电机统一理论-5-矩阵形式'CXX向量形式1111211221222212'''nnnnnnnnxcccxxcccxxcccx第5章坐标变换与电机统一理论-6-在引入这些新的变量之后，新变量就成为待求的未知数，需要求解新的方程。如有必要，可将新的变量求得之后，再变换成原变量。为了使新变量和原来的变量之间有单值的联系，要求由线性变换系数所组成的行列式不等于零，或者说矩阵C是非奇异的。线性变换实质上是以适应某种需要而创建的一种十分有效的数学方法，在对电力电子与交流传动系统进行分析与设计时，具有特殊的应用价值。事实上，第4章在讨论SVPWM逆变器时已对空间矢量及坐标变换的基本概念有所涉及。nnccc,,,1211第5章坐标变换与电机统一理论-7-5.1.2坐标空间的确定以三相交流电机为例，用正交三维空间中的坐标系来表征电机各相的瞬时值，如电流，电压，磁链等。为了便于讨论问题，可设交流电机一组对称三相稳态电流的瞬时值为cbaiii、、cbauuu、、cba、、)3π2cos()3π2cos(cos1mc1mb1matIitIitIi（5-4）同步角速度（角频率）第5章坐标变换与电机统一理论-8-这组对称三相稳态电流的瞬时值可用正交三维空间A、B、C坐标系中的旋转向量I在各轴上的投影表示，即旋转向量I每一瞬间在三维空间A、B、C坐标轴上的投影为，用向量形式表示如下：（5-5）轴线单位向量cbaiii、、)3π2cos()3π2cos(cos1m1m1mcbatItItIiiiCBACBAI第5章坐标变换与电机统一理论-9-向量I的长度为（5-6）m121212m2c2b2a23)3π2(cos)3π2(coscosItttIiiiI由此可知，旋转向量I在过原点O的平面P内，以同步角速度旋转，其大小是恒定的，向量端头的运动轨迹是一个圆，如图5-1所示。为了易于建立旋转向量运动轨迹的概念，表5-1列出了旋转向量运动时所经过的特定点的值。22cos1cos112tt第5章坐标变换与电机统一理论-10-I6π2π65π67π23π6π11P平面BACO图5-1正交三维空间A-B-C第5章坐标变换与电机统一理论-11-如图5-2所示，A、B、C轴线在P平面上的投影分别为a、b、c轴线，它们互差120电角度。由于a轴与A轴之间的夹角为（5-7）若A、B、C轴线上的坐标直接用a、b、c轴线上的投影来表示，则需将该投影乘以一个系数“”。下面我们就用a、b、c轴线上的投影值来表示三相电流。32arccos23arccosmmII23cbaiii、、图5-2A-B-C轴线与a-b-c轴线的投影关系BACOP平面abc媒介坐标系统a-b-cm32ImI第5章坐标变换与电机统一理论-12-5.1.3坐标变换的一般方法在静止的正交三维空间A、B、C系统中，所表征的电磁量经坐标变换，可变换到旋转正交三维空间x、y、z系统。该坐标系统中由互相垂直的x轴与y轴所组成的平面，与旋转向量I所在的P平面重合，且以同步角速度绕垂直于x、y轴的第三轴线z旋转。y轴超前x轴90电角度。该x、y、z旋转坐标系统与A、B、C静止坐标系统均表示在图5-3中，可见旋转向量I相对于x、y、z旋转坐标系统是静止的。由于旋转向量I的线速度可表示为其角速度与I的向量积，即IωIv1ddt（5-8）1ω第5章坐标变换与电机统一理论-13-ω1是旋转向量I相对于静止的A、B、C系统的角速度，其向量的表示式为（5-9）zω11z轴单位向量IP平面BACO图5-3静止的A-B-C坐标系与旋转的x-y-z坐标系xyztddIvω1图5-2A-B-C轴线与a-b-c轴线的投影关系BACOP平面abc第5章坐标变换与电机统一理论-14-设t=0时，I与a轴重合，则任何时刻I与a轴的夹角（也就是x轴与a轴的夹角）。由于向量I与a、b、c轴线在同一平面P之内，从空间向量的基本关系可知1tabcm232π2π[coscos()cos(]3233)IabcabciiiI（5-10）由式（5-6）可知，向量I方向上的单位向量应为m23IIII（5-11）第5章坐标变换与电机统一理论-15-该单位向量就是x轴的单位向量，它与单位向量的关系为（5-12）y轴的单位向量可定义为xcba、、)]3π2cos()3π2cos(cos[3223mcbaIxIttddddIIy)]3π2sin()3π2sin(sin[32)]3π2sin()3π2sin(sin[23m1m1cbacbayII（5-10）（5-14）第5章坐标变换与电机统一理论-16-根据线性变换的基本原理，静止的a、b、c系统三个单位向量与旋转的x、y、z系统三个单位向量互做变换时，需要三个关系式。与之间的关系式已定，即式（5-12）和式（5-14），可再定义与之间的关系式如下：cba、、zyx、、yx、cba、、cba、、z)(31cbaz（5-15）第5章坐标变换与电机统一理论-17-cbazyx212121)3π2sin()3π2sin(sin)3π2cos()3π2cos(cos32zyxcba21)3π2sin()3π2cos(21)3π2sin()3π2cos(21sincos32（5-16）（5-17）第5章坐标变换与电机统一理论-18-将上式代入式（5-10），得zyxI)(31)]3π2sin()3π2sin(sin[32)]3π2cos()3π2cos(cos[32cbacbacbaiiiiiiiii（5-18）)(31)]3π2sin()3π2sin(sin[32)]3π2cos()3π2cos(cos[32cbazcbaycbaxiiiiiiiiiiii第5章坐标变换与电机统一理论-19-写成矩阵形式（5-20）cbazyx212121)3π2sin()3π2sin(sin)3π2cos()3π2cos(cos32iiiiiizyxcba21)3π2sin()3π2cos(21)3π2sin()3π2cos(21sincos32iiiiii（5-21）第5章坐标变换与电机统一理论-20-式（5-20）与式（5-21）为一般的静止坐标系统A、B、C与旋转坐标系统x、y、z之间的变换关系式。由于和分别为旋转向量I在静止坐标系统与旋转坐标系统中各轴线上的投影，且之瞬时值可通过与旋转坐标系统同一平面P的“媒介坐标系统a、b、c”去表征，旋转坐标系统的转速，若从与a、b、c系统的相对转速去理解，显然不一定是同步转速，可以是任意转速，即式（5-20）与式（5-21）可适用于任意转速的旋转坐标系统。cbaiii、、zyxiii、、cbaiii、、转速问题？第5章坐标变换与电机统一理论-21-另外，旋转向量的大小也不一定是恒定的，可为时间t的函数。设为一不对称的三相系统的电流量，其中含有正序、负序和零序三个分量，即大小问题？cbaiii、、（5-22）c0c2c1cb02bb1ba02aa1aiiiiiiiiiiii第5章坐标变换与电机统一理论-22-（5-23）c0c2cc1b0b2bb1a0a2aa1iiiiiiiiiiii，，x1aa2bb2cc2a022π2π[()cos()cos()()cos()]33322π2π[coscos()cos()]333iiiiiiii（5-19）)]3π2cos()3π2cos(cos[32)]3π2cos()3π2cos(cos[32cbac2b2a2x1iiiiiii0)3π2cos()3π2cos(cos（5-24）第5章坐标变换与电机统一理论-23-由于正序系统与负序系统从坐标变换来说是一样的，所以上式可写成)]3π2cos()3π2cos(cos[32cbax21iiiiiixx（5-25）同理可得)]3π2sin()3π2sin(sin[32cbay21iiiiiiyy（5-26）由此可知，式（5-20）与式（5-21）无论三相系统的量对称与否都适用。第5章坐标变换与电机统一理论-24-5.1.4坐标变换的性质及约束坐标变换是一种线性变换，如无约束，变换就不是唯一的。在电机的系统分析中，所应用的坐标变换可有两种约束：1)功率不变约束，即变换前后功率保持不变。2)合成磁动势不变约束，即变换前后合成磁动势保持不变。下面首先介绍功率不变约束及其坐标变换的性质。两个约束同时满足？第5章坐标变换与电机统一理论-25-设在某坐标系统中各绕组的电压和电流向量分别为和，在新的坐标系统中电压和电流向量变为和。新向量与原向量的坐标变换关系为T21][nuuu，，，uT21][niii，，，iT21]'''['nuuu，，，uT21]'''['niii，，，i''iCiuCuiu（5-27）电压变换阵电流变换阵功率不变''TTuiui'')'()'(TTTTuCCiuCiCuiuiuiECCuiT（5-30）第5章坐标变换与电机统一理论-26-其中E为单位矩阵。式（5-30）就是功率不变约束下坐标变换阵和需要满足的关系式。在一般情况下，电压变换阵与电流变换阵可以取为同一矩阵，即令，则式（5-30）成为（5-32）CCCiuECCT1TCC由此可知，在功率不变约束下