第九章-多元函数微分法及其应用各种知识点计算一览

第九章多元函数微分法及其应用各种知识点计算一览1、求函数的定义域：略2、求函数的表达式：略。如：已知(,)fxyxy，求(,)fxy3、计算函数的极限：可以用一元函数极限的知识以及使用两边夹定理。4、证明多元函数极限不存在：通常是取两条不同的路径，计算出函数在这两条路径上的极限不等即可。也可设,ykxykx2等，证明极限值和k有关。如：,(,),xyxyxyfxyxy2222220005、讨论分界函数在分解点的连续性：只需按照连续的定义，lim(,)(,)xxyyfxyfxy0000。6、计算函数(,)zfxy的偏导数：只需将其中一个变量看作常数，对另一个变量求导。7、计算分界函数在分界点的偏导数：一般需用偏导数的定义做。(,)(,)limxxxxyyfxxyfxyzx0000000(,)(,)limxxyyyyfxyyfxyzy00000008、复合函数求偏导数口诀：分叉相加、分段相乘、单路全导、多路偏导。9、隐函数求偏导数：(,)xyFdyFxydxF0或yxFdydxF(,,),yxzzFFzzFxyzxFyF0或yxFdydxF（假设(,)zfxy）(,,,)(,,,)FxyuvGxyuv00方程组两边分别对,xy求偏导数，再用消元法求解即可。（假设(,),(,)uuxyvvxy10、全微分的计算：(,)xyzfxydzzdxzdy(,,)xyzufxyzduudxudyudz(,)zfxy全微分存在的判断方法一：,xyzz存在且连续(,)zfxy全微分存在的判断方法二：需要证明()limxyzzxzy00，其中(,)(,)zfxxyyfxy，()()xy2211、计算二阶偏导数：xxz是xz对x的偏导数，xyz是xz对y的偏导数。抽象二阶偏导数的计算：以(,)zfxyxy为例，要注意f1表示z对中间变量()uxy的偏导数，f2表示z对中间变量()vxy的偏导数。而f1和f2依然是和(,)zfxyxy一样的复合结构。12、求曲面(,,)Fxyz0在点(,)xy00的切平面方程：(,,)()(,,)()(,,)()xyzFxyzxxFxyzyyFxyzzz0000000000000（1）((,,),(,,),(,,))xyyFxyzFxyzFxyz000000000称为曲面在点(,)xy00处的法向量。求曲面(,,)Fxyz0在点(,)xy00的法线方程：(,,)(,,)(,,)xyzxxyyzzFxyzFxyzFxyz000000000000特殊地，曲面(,)zfxy在点(,)xy00的切平面方程的求法是：设(,,)(,)Fxyzfxyz，在应用公式（1）即可。最好将结果记住：(,)()(,)()()xyfxyxxfxyyyzz00000000曲面(,)zfxy在点(,)xy00的法线方程的求法是：(,)(,)xyxxyyzzfxyfxy0000000113、空间曲线()()()xxtyytzzt在点tt0处的切线方程是：()()()()()()xxtyytzztxtytzt000000空间曲线()()()xxtyytzzt在点tt0处的法平面方程是：()()()()()()xtxxtytyytztzzt0000000这是切线这是曲线这是切点这是法平面这是切点这是切平面这是法线14、求函数(,)zfxy在点(,)xy00沿方向(,)Lab的方向导数xxyyzL00：(,),xxxyxxyyyyzabzzLabab00002222(,)(,)xyabfxyfxyabab0000222215、求函数(,)zfxy在点(,)xy00的梯度(,)gradfxy00：(,)(,),(,)(,)(,)xyxygradfxyfxyfxyfxyifxyj0000000000.16、求函数的极值：从驻点、偏导数不存在点和边界中选取。17：判断极大值和极小值：见书P110面定理2.17、求最值：对于实际问题，若计算出只有一个驻点，则一般该点就是所求的最值点。这是方向(,)Lab的单位方向向量。这是(,)gradfxy00。