有限维赋范空间与无限维赋范空间之比较

数学学院2010级泛函分析论文有限维赋范空间与无限维赋范空间之比较学院：数学学院专业：基础数学姓名：刘冬芳学号：201011070121、范数等价性有限维线性空间上任何两个范数都等价，因而它上面只有一个范数拓扑。无限维线性空间上有无限个范数相互不等价，因而它上面有无限多个相互不同的范数拓扑。定义1设1•和2•是线性空间X上的两个范数，如果存在,0,0≻≻ba使得,121•≤•≤•ba，则称范数1⋅和2⋅是等价的。命题1在两个等价范数产生的赋范空间中，点列{}nx的收敛性一样。证明事实上，002110→−⇒→−xxxxnn()∞→n，反之，001020→−⇒→−xxxxnn()∞→n由上，命题得证。注在两个等价范数产生的赋范空间中，同一个元素的范数可能不同，但是空间中的收敛性一样。例1nR按通常意义下的加法、数乘，成为一个线性空间。在这一空间中定义了三个不同的范数∞xxx,,1，它们满足;2112112112xnnxxnkknkknkk=⎟⎠⎞⎜⎝⎛≤=≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛=∑∑∑===ξξξ∞≤≤=≤≤∞=≤=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛≤=∑xnnxxknknkkknkξξξ121211maxmax因而∞xxx,,1三个范数等价。由它们诱导出的距离也是等价的。我们将看到，nR上定义的所有范数都是等价的。2、完备性有限维赋范空间都是Banach空间。事实上，对于两个等价范数1•与2•而言，考察()1,•X的完备性与考察()2,⋅X的完备性是一致的。据Euclid空间的完备性知有限维赋范数学学院2010级泛函分析论文空间都是Banach空间。无限维赋范空间可能是不完备的。事实上，线性空间−0l只有有限项不为零的数列全体按任何范数不完备。为此，命{}nneespanX,1,⋯=.在任何范数下，nX是0l的完备线性子空间且无内点，因此nX是0l的疏朗集。而{}⋯,2,10=∪=nXln,故0l总是第一纲的。定理1任意n维赋范空间必与nR代数同构拓扑同胚证明()⋅,x是n维赋范空间，于是存在一组基{}nee,,1⋯，Xx∈∀，可以唯一表示为nneeexξξξ+++=⋯2211。令()nnRx∈=−ξξ,,1⋯，设nRxXxT∈→∈−:。T是一个从X到nR的同构映射。对于⋅∈∀,Xx与nR的范数等价，事实上由三角不等式和Holder不等式，我们有−=====⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛≤≤=∑∑∑∑xeeexnkknkkknkknkkkβξξξ2112211211，其中()2112∑==nkkeβ是与x无关的常数。另一方面，在nR中的单位球面S上，()⎭⎬⎫⎩⎨⎧===∑=−nkknxS1211,,ξξξ⋯。定义()nnneexfxfξξξξ++===⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋯⋯111,,，由于在S上，nξξ,,1⋯不同时为零，且nee,,1⋯线性无关，于是nneeξξ++⋯11不等于零，所以0≻xxf=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−对于任意的()nyηη,,1⋯=，结合上述有()()−−−≤−≤−=−yxyxyxffnnβηηξξ,,,,11⋯⋯，所以⎟⎠⎞⎜⎝⎛−xf是连续的。因为S是nR中的闭的有界集，是自列紧的集合。⎟⎠⎞⎜⎝⎛−xf在S上取到最小值，即存在Sx∈∀−,0≻α有α≥=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−xxf。对于任意的Xx∈，对应的SxxRxn∈∈−−−,，于是数学学院2010级泛函分析论文α≥=⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−xxxxf，由此推出−≥xxα，我们有−−≤≤xxxβα。即：X与nR同胚。注1定理说明实的有限维空间中定义的范数与nR的范数等价，收敛性与nR相同，即按坐标收敛。注2对于复的有限维空间可以证明类似的结果。有限维的赋范空间都是Banach空间。3、闭性赋范空间的有限维线性子空间都是闭的，而无限维线性子空间则不一定是闭的，如0l在'l中稠密，因此0l不是'l的闭集。4、有界集的列紧性有限维赋范空间的有界集都是列紧集而其有界闭集是紧集(Heine-Borel定理)。无限维赋范空间的单位球面S不是预紧集，因而不是列紧集也非紧集。为此取Sx∈1。因为{}11xspanL=是X的真闭线性子空间，由F.Riesz引理，可取Sx∈2使()211,2≻Lxd。因为{}212,xxspanL=是X的真闭线性子空间，于是又可用Reisz引理，继续以上过程得到S中序列()nx使{}()211,1,,≻⋯−nnxxspanxd.当m≠n时，21≻nmxx−.这样()nx没有基本子列。这还得到一个结论：无限维赋范空间的非空开集不是列紧集。定理2赋范空间是有限维的当且仅当X中的任何有界集是列紧的证明必要性显然。充分性。假如不然，X是无穷维的。考虑{}1==xxS，任取Sx∈1，记1X为由1x生成的子空间。由于X是无穷维的，由1x生成的子空间是X的真闭子空间。由Riesz引理，存在1,22=∈xSx使得12,21Xxxx∈∀−≻，特别地2112≻xx−。令2X是由{}21,xx生成的子空间，同样存在21,,323≻xxXxSx−∈∀∈。特别地21,211323≻≻xxxx−−，这样一直做下去，得到S中的无穷点列{}nx数学学院2010级泛函分析论文满足：()jixxji≠−21≻，{}nx中不存在收敛的子列，与S列紧矛盾。推论设X是一个无穷维的赋范空间，那么单位球()1,0B和单位球面()1,0S都不是列紧的。注1在无穷维空间，单位球（面）不是列紧的（存在{}21,≻jinxxx−）。如果单位球（面）列紧，则X是有限维的。注2列紧性是距离空间十分重要的性质，在有限维空间，任何有界闭集都是自列紧的，但是在无穷维赋范空间，有界集就可能不是紧集合，这是有限维空间和无限维空间的重要区别。5、最佳逼近的存在性赋范空间X中有限维子空间L对任何Xx∈的最佳逼近存在（而无限维子空间则不尽然）。为此作L的非空有界闭集()(){}1,,+≤∈=LxdyxdLyS于是紧集S对x有最佳逼近，这也是L对x的最佳逼近。