数模重修1答案

共5页第1页南京师范大学考试卷课程名称数学模型考试学期得分适用专业重修考试形式闭卷考试时间长度120分钟注：考试可以带计算器一.雇佣关系模型考虑雇员一天的工作时间t与工资w,回答下列问题：（1）假设雇员的满意度曲线形式为ctw3，画出每天雇员的无差别曲线。(2）如果雇主付计时工资，求出雇主与雇员的协议曲线。（3）如果雇主希望雇员每天工作6小时，他应该怎样支付雇员工资。解（1）雇员的无差别曲线见右图。（2）设ctt300,(）是某条雇员无差别曲线上的一点，过此点的曲线的切线方程为ctttw300223若此曲线过坐标原点，则302/ct，切点为)2/3,2/(3cc，以c为参数，得到协议曲线方程为33tw（3）根据（2）求出的协议曲线方程，得到108k，切点坐标为)648,6(。学号姓名共5页第2页二（1）甲乙双方长期以来一直采用Hill2密码通讯，且密钥为二阶矩阵,3021A汉语拼音的26个字母与0～25之间建立一一对应关系，即A～1，B～2，…，Z～0,将明文DONGNANDAXUE翻译成密文。（2）在模26意义下，求矩阵A的逆矩阵。（3）利用（1）的密钥矩阵将下列一段密文翻译成明文WOWUYSBACPGDKPPABUXQEZAACP解（1）明文对应的6个向量为[4，5]T，[14，7]T，[14，1]T，[14，4]T，[1，24]T，[21，5]T用A左乘以上各向量得到[34，45]T，[28，21]T，[16，3]T，[22，12]T，[29，72]T，[31，15]T，经模26运算得[8，19]T，[2，21T，[16，3T，[22，12]T，[3，20]T，[5，15]T，对应的密文为HSBUPCVLCTEO（2）模26下的逆矩阵为90811A（3）密文所对应的13个向量为[23，15]T，[23，21]T，[25，19]T，[2，1]T，[3，16]T，[7，4]T，[11，16]T，[16，1]T，[2，21]T，[24，17]T，[5，0]T，[1，1]T，[3，16]T，用1A左乘上述的13个矩阵，经模26运算得[13，5]T，[9，7]T，[21，15]T，[10，9]T，[1，14]T，[7，10]T，[9，14]T，[24，9]T，[14，7]T，[8，5]T，[19，8]T，[9，25]T，[1，14]T，明文为MEIGUO。共5页第3页三、变量x与y的一组观测数据如下：x12345678y1626405880106136170（1）估计y的1阶差分y，画出y与x的图形。（2）用差分法判断最适合的y关于x拟合多项式的阶数。（3）用外推法求12x时的y值。解（1）图形略（线性关系）x12345678y1626405880106136170y10141822263034y2444444（2）根据上图，最适合的拟合多项式的阶数为2。（3）10422xxy当346,12yx共5页第4页四．某种群的按年演变的年龄结构矩阵及初始个体数为50001300018000)0(,04.00007.08.10.10xP，（1）估计矩阵P的模最大特征值（保留到小数点后2位）。（2）估计种群稳定的年龄结构和发展趋势。（3）如果环境最大容量为39600，要保持种群总数不变，应怎样选择种群的初始数据及怎样控制出生率（假设对所有的年龄段按同一比例采取控制措施）。解（1）P的模最大特征值08.1。（2）种群稳定的年龄结构为]08.1/28.0,08.1/7.0,1[*2n]24.0,648.0,1[总数每年增长8%。（3）设控制率为k则1)1(),/8.128.0/7.0()(32qkq得831.0k。初值为]5600,14000,20000[)0(x。共5页第5页五Gompertz利用如下模型来讨论有环境压力的种群增长规律；mxxxdtdxln，其中)(tx表示种群数，mx是环境容量，是与固有增长律有关的参数。（1）解含参数的Gompertz方程（提示：令)(ln)(txty）（2）根据下表的数据，利用差商估计dtdyt01234567)(tx481324406492124（3）利用dtdyty),(数据确定参数mx,。（4）画出解)(ty的轨线。解（1）令)(ln)(txty)ln(mxydtdymmxtxtyln)exp(ln4ln)(（2）298.0363.047.0511.0613.0486.0693.0'820.4522.4159.4689.3178.3565.2079.2383.112492644024138476543210yyxt（3）'y与y呈线性关系，应用最小二乘法得2498,1154.0mx（4）解)(ty的轨线如下mxy4ln