圆的解题套路(word修订版)

第1页（共22页）圆的解题套路门派___________姓名___________编号_____________第2页（共22页）模型一：伴随型相似（听说它比较容易？）第一天例题1：如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，C为的中点，过点C作直线CD⊥AE于D，连接AC、BC．（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AD=2，AC=，求AB的长．变式1:如图，在△ABC中，∠C=90°，点E在AB上，以AE为直径的⊙O切BC于点D，连接AD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若⊙O的半径为5，sin∠DAC=，求BD的长．识别模型：AB为圆O直径，AC为∠BAD角平分线。CD⊥AD。则可以证△ADC与△ACB相似。ADACCDACABCB第3页（共22页）第二天例题2：如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD=BC，延长AD到E，且有∠EBD=∠CAB．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）若BC=，AC=5，求圆的直径AD及切线BE的长．变式1：如图1，AB为半圆的直径，O为圆心，C为圆弧上一点，AD垂直于过C点的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）如图2，连接OD交AC于点G，若=，求sin∠E的值．第4页（共22页）第三天变式2：AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的切线垂直，垂足为D，连AC．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）如图2，延长AB，交直线DC于E，若=，求tan∠E．变式3：如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，过点C的切线交AD的延长线于点E，且AE⊥CE，连接CD．（1）求证：DC=BC；（2）若AB=10，AC=8，求tan∠DCE的值．第5页（共22页）第四天变式4：如图，已知以Rt△ABC的斜边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠ABC的平分线BE交AC于D，交⊙O于E，过E作EF∥AC交BA的延长线于F．（1）求证：EF是⊙O切线；（2）若EF=8，tan∠AEF=，求CD的长．第6页（共22页）模型二：子母型and切割线（这是一个很深的坑）第四天（先让我们来体会一个几何的连锁反应）分析：这里有射影定理模型和切割线模型（能找到吗？），两个模型的线段之比可以不断转化：可以证明△DHB∽△AHD,∴HBDHBDHDAHAD，即：12HBBDHDAD，△CBD∽△CDA,12BDCBCDADCDCA.(这里就有一个连锁反应：HBBDCBCDDHDACDCA,将射影定理和切割线结合到了一起！)解答：模型识别：如左图：PB为圆O切线，PA为圆O割线。可证：△PCB∽△PBA。从而：PBPCCBPAPBBA（这个比例式经常将CBBA进行转化。）如图：AB为圆O的直径，过点D的切线交AB的延长线于点C，DH⊥AB于H。若AB=10，12HBDH,求CB的值。第7页（共22页）第五天例1：如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，BC=6，．求BE的长．变式1：如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有点E，且EF=ED．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若OF：OB=1：3，⊙O的半径R=3，求的值．变式2：如图，AB为⊙O直径，C是⊙O上一点，CO⊥AB于点O，弦CD与AB交于点F，过点D作∠CDE，使∠CDE=∠DFE，交AB的延长线于点E．过点A作⊙O的切线交ED的延长线于点G．（1）求证：GE是⊙O的切线；（2）若OF：OB=1：3，求AG的长．第8页（共22页）第六天例题2：如图，在△ABC中，AB=AC．以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．过E点作⊙O的切线，交AB于点F．（1）求证：EF⊥AB；（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．变式1：如图，以AB为直径的⊙O交△ABC的边AC于D、BC于E，过D作⊙O的切线交BC于F，交BA延长线于G，且DF⊥BC．（1）求证：BA=BC；（2）若AG=2，cosB=，求DE的长．第9页（共22页）第七天变式：如图，在△ABC中，CA=CB，以BC为直径的圆⊙O交AC于点G，交AB于点D，过点D作⊙O的切线，交CB的延长线于点E，交AC于点F．（1）求证：DF⊥AC．（2）如果⊙O的半径为5，AB=12，求cos∠E．第10页（共22页）第八天（真正的子母型）例题4：已知：在Rt△ABD中，∠ABD=90°，以直角边AB为直径作圆O交AD于C，取线段BD的中点E，连接CE交AB的延长线于P．（1）求证：CP是⊙O的切线；（2）点M是弧的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN•MC的值．变式：如图，已知△ABC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E为的中点，连结CE交AB于点F，且BF=BC．（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为2，sinB=，求CE的长．第11页（共22页）第九天变式：如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若BC=6，tan∠CDA=，求CD的长．变式：如图，AB为⊙O的直径，CO⊥AB于O，D在⊙O上，连接BD，CD，延长CD与AB的延长线交于E，F在BE上，且FD=FE．（1）求证：FD是⊙O的切线；（2）若AF=8，tan∠BDF=，求EF的长．第12页（共22页）类型三：等腰三角形与圆的交点（key-point）第十天例题1：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC边于边D，交AC边于点G，过D作⊙O的切线EF，交AB的延长线于点F，交AC于点E．（1）求证：BD=CD；（2）若AE=6，BF=4，求⊙O的半径．如左图：△ABC为等腰三角形，AB为圆O的直径，则BC与圆O的交点D为BC的中点。第13页（共22页）变式：在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC有公共点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F，BD=BF．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BF=8，AD=4，求CF的长．变式：如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O与边BC交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，延长AB、ED交于点F，AD平分∠BAC．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若CE=1，sinF=，求⊙O的半径．第14页（共22页）第十一天例题2:如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．（1）证明：DE为⊙O的切线；（2）若BC=4，求AD的长．变式：已知如图，AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，且DE⊥AC于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若∠C=30°，CD=10cm，求⊙O的直径．变式：如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且∠BDE=∠A．（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；（2）若AC=16，tanA=，求⊙O的半径．第15页（共22页）第十二天例题3:如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．（1）求证：∠CBF=∠CAB；（2）连接BD，AE交于点H，若AB=5，tan∠CBF=，求BH的值．变式：如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O交AC于点D，过点D作⊙O的切线交AB于点E．（1）如图1，若∠ABC=90°，求证：OE∥AC；（2）如图2，已知AB=AC，若sin∠ADE=，求tanA的值．第16页（共22页）类型四：射影定理（唐教授（长沙中考命题人)的最爱）第十三天例题1：如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点恰好为BC的中点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．（1）求证：DE⊥AC；（2）若AB=3DE，求tan∠ACB的值．变式：如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E，连接AE．（1）若D为AC的中点，连接DE，证明：DE是⊙O的切线；（2）若BE=3EC，求tan∠ABC．第17页（共22页）第十四天例题2：如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA、CB于点E、F，点G是AD的中点．GE=BD=2，EC=．（1）求证：GE是⊙O的切线．（2）求sin∠DCB的值．变式：如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若AC=2DE，求tan∠ABD的值．变式：如图，△ABC内接于⊙O，AC为⊙O的直径，PB是⊙O的切线，B为切点，OP⊥BC，垂足为E，交⊙O于D，连接BD．（1）求证：BD平分∠PBC；（2）若⊙O的半径为1，PD=3DE，求OE及AB的长．第18页（共22页）杂题（方法或辅助线稍特殊的题）第十五天1：如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，AD∥BC，且∠DCA=∠B，连接OD．（1）求证：DC与⊙O相切；（2）若sinB=，OD=3，求⊙O的半径长．第19页（共22页）第十六天1：如图，点O在△ABC的边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E，EF⊥AC于F，直线EF是⊙O的切线．（1）求证：△ABC为等腰三角形；（2）若BD=2DA，cosB=，CF=2，求线段AF的长．第20页（共22页）第十七天1：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O在AB上，⊙经过点A，与CB切于D，分别交AB、AC于E、F．（1）求证：sin∠B=；（2）连CE，AD相交于P，sinB=，求．第21页（共22页）第十八天1：如图，已知AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为F，E为BA延长线上的一点，连接CE、CA，∠ECA=∠ACD．（1）求证：CE为⊙O的切线；（2）若EA=2，tanE=，求⊙O的半径．第22页（共22页）第十九天1：如图，在△ABC中，AC=BC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，点E在BC上，连结BD，DE，∠CDE=∠ABD．（1）证明：DE是⊙O的切线；（2）若BD=12，sin∠CDE=，求圆O的半径和AC的长．