高三难点突破：导数的含参问题

高三难点突破：导数的含参问题考点梳理随着高考对导数考查的不断深入，运用导数确定含参数函数的参数取值范围成为一类常见的探索性问题，由于含参数的导数问题在解答时往往需要对参数进行讨论，因而它也是绝大多数考生答题的难点，具体表现在：他们不知何时开始讨论、怎样去讨论。对这一问题不仅高中数学教材没有介绍过，而且在众多的教辅资料中也难得一见，本文通过一些实例介绍这类问题相应的解法，期望对考生的备考有所帮助。题型分类一、与函数单调性有关的类型用导数研究函数的单调性，这是导数最为常见的运用，根据：函数在区间(a，b)上递增'()0fx；递减'()fx0。在此基础上再研究参数（函数中含参数或区间中含参数）的取值范围（一般可用不等式恒成立理论求解），一般步骤是：首先求出)('xf后，若能因式分解则先因式分解，讨论)('xf=0两根的大小判断函数)(xf的单调性，若不能因式分解可利用函数单调性的充要条件转化为恒成立问题。【例1】设函数xexaxxf22,其中0a（I）当34a时,求xf的极值点;（II）若xf在1,1上为单调函数,求a的取值范围．【变式】设函数()fx是定义在(,0)上的可导函数，其导函数为'()fx，且有22()'()fxxfxx，则不等式2(2016)(2016)9(3)0xfx的解集为.二、与不等式有关的类型运用导数作为工具，以含有参数的不等式作为载体进行知识交汇处的命题已成为如今各地联考和高考命题的热点之一，在利用不等式求参数取值范围时，通常要构造一个新的函数()gx，若类似于()agx，则只要研究max()agx；若类似于()agx，则只要研究min()agx。此类问题的实质为：在区间给定情况下,转化为求函数在给定区间上的最值问题。【例2】已知函数ln(1),(1,0)(0,)xfxxx（Ⅰ）判断函数fx的单调区间（Ⅱ）若对任意的0x，都有2112fxkxx，求实数k的最小值。【变式】已知函数()(1)xfxxe（e为自然对数的底数）.（1）求函数()fx的单调区间；（2）设函数()()()xxxfxtfxe，存在实数12,[0,1]xx，使得122()()xx成立，求实数t的取值范围.三、与极值有关的类型极值这个概念在高中数学中可以说是一个与导数紧密相邻的概念，基本上只要提到极值或极值点就会想到导数，极值点个数的判定，一般是转化为使'()0fx方程根的个数，一般情况下导函数若可以化成二次函数，我们可以利用判别式研究，若不是，我们可以借助图形研究。在完成此类题目时一定要注意极值与最值的区别，它们有本质的不同：极值是一个局部的概念，而最值是一个整体的概念。【例3】已知函数21()2ln()2fxaxxaxaR（Ⅰ）若函数()yfx存在极大值和极小值，求a的取值范围；（Ⅱ）设,mn分别为()fx的极大值和极小值，其中12(),(),mfxnfx且111(,),32x求mn的取值范围．【变式】已知函数21()ln(2)2fxxxmx．(Ⅰ)当函数()yfx在区间[1,2]单调递减，求实数m的取值范围；(Ⅱ)设xa和xb是函数()yfx的两个极值点,其中,abmR，求()()fafb的取值范围．四、与方程有关的类型在现在高中数学命题中常出现有关参数的方程问题、根的分布问题，有时甚至出现在一些高考试题的压轴题中。完成此类问题正确的转化是解题最为关键的地方，基础较差的学生可能出现复杂问题简单化的现象（当然是错误的理解而已），这种题型往往能很好的考查学生运用所学知识解决新问题的能力，这也正是它的魅力所在。【例4】已知函数xaxxxf221ln)(2（0a）.（Ⅰ）若函数)(xf在定义域内单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若21a，且关于x的方程bxxf21)(在4,1上恰有两个不等的实根，求实数b的取值范围.[来源:学,科,网Z,X,X,K]【变式】已知32()()ln(1)fxxaxxa（aR）（Ⅰ）若方程()0fx有3个不同的根，求实数a的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，是否存在实数a，使得()fx在(0,1)上恰有两个极值点12,xx，且满足212xx，若存在，求实数a的值，若不存在，说明理由．课后作业1．已知32310fxaxxa，定义,max,,fxfxgxhxfxgxgxfxgx．（1）求函数fx的极值；（2）若gxxfx，且存在1,2x使hxfx，求实数a的取值范围；（3）若lngxx，试讨论函数0hxx的零点个数．2.已知函数2()ln,()fxxxgxxax．（1）求函数()fx在区间,1(0)ttt上的最小值()mt；（2）令1122()()(),(,()),(,())hxgxfxAxhxBxhx12()xx是函数()hx图象上任意两点，且满足1212()()1,hxhxxx求实数a的取值范围；（3）若(0,1]x，使()()agxfxx成立，求实数a的最大值．