二面角辅导讲义

个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司1学生：科目：数学第阶段第次课教师：时间：2014年月日时段课题二面角的求法教学目标1.熟悉找平面角的方法。2.熟悉三垂线法。3.熟悉射影面积法。重点、难点三垂线法与射影面积法的应用考点及考试要求二面角教学内容知识框架二面角大小的求法中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，一般而言，二面角的大小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小，在其求解过程中，主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。求二面角大小的关键是，根据不同问题给出的几何背景，恰在此时当选择方法，作出二面角的平面角，有时亦可直接运用射影面积公式求出二面角的大小。I.寻找有棱二面角的平面角的方法(定义法、三垂线法、垂面法、射影面积法)一、定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（特殊点），过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法。要注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角。例空间三条射线CA、CP、CB，∠PCA=∠PCB=60o，∠ACB=90o，求二面角B-PC-A的大小。解：过PC上的点D分别作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，连EF.∴∠EDF为二面角B-PC-A的平面角，设CD=a，∵∠PCA=∠PCB=600，∴CE=CF=2a，DE=DF=a3，又∵∠ACB=900，∴EF=22a，∴∠EDF=31328332222aaaa1.在三棱锥P-ABC中，APB=BPC=CPA=600，求二面角A-PB-C的余弦值。PBαCAEFDABCNMPQ个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司22.如图，已知二面角α-а-β等于120°，PA⊥α，A∈α，PB⊥β，B∈β，求∠APB的大小。3.在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，求二面角B-PC-D的大小。二、三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角。例在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A的大小。解：如图，PA⊥平面BD，过A作AH⊥BC于H，连结PH，则PH⊥BC又AH⊥BC，故∠PHA是二面角P-BC-A的平面角。在Rt△ABH中，AH=ABsin∠ABC=aSin30°=2a；在Rt△PHA中，tan∠PHA=PA/AH=22aa，则∠PHA=arctan2.5.在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A的大小。6.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB，AC=BC=1，∠ACB=900，M是PB的中点。(1)求证：BC⊥PC，(2)平面MAC与平面ABC所成的二面角的正切。pABCDLHjABCDPHPOBACBMBAPNK个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司37.ΔABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是AB中点M，二面角P—AC—B的大小为45°。求（1）二面角P—BC—A的大小；（2）二面角C—PB—A的大小。8.如图，已知△ABC中，AB⊥BC，S为平面ABC外的一点，SA⊥平面ABC，AM⊥SB于M，AN⊥SC于N,(1)求证平面SAB⊥平面SBC(2)求证∠ANM是二面角A－SC－B的平面角.9.第8题的变式：如上图，已知△ABC中，AB⊥BC，S为平面ABC外的一点，SA⊥平面ABC，∠ACB＝600，SA＝AC＝a，(1)求证平面SAB⊥平面SBC(2)求二面角A－SC－BC的正弦值.10.如图,ABCD-A1B1C1D1是长方体，侧棱AA1长为1，底面为正方体且边长为2，E是棱BC的中点，求面C1DE与面CDE所成二面角的正切值。ABCDA1B1C1D1EOCDPMBAABCMNS个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司411.如图4，平面⊥平面，∩=l，A∈，B∈，点A在直线l上的射影为A1，点B在l的射影为B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=2，求：二面角A1－AB－B1的大小。三、垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直。例在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，求B-PC-D的大小。解：（垂面法）如图，PA⊥平面BDBD⊥ACBD⊥BC过BD作平面BDH⊥PC于HPC⊥DH、BH∠BHD为二面角B-PC-D的平面角。因PB=2a,BC=a,PC=3a,12PB·BC=S△PBC=12PC·BH则BH=3a=DH，又BD=2a在△BHD中由余弦定理，得：cos∠BHD＝2222226623312266233aaaBHDHBDBHBDaa，又0＜∠BHD＜π，则∠BHD=23，二面角B-PC-D的大小是23。12.空间的点P到二面角l的面、及棱l的距离分别为4、3、3392，求二面角l的大小.jABCDPHPlCBA图4B1AA1BLEF个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司513．如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC、SC于D、E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E－BD－C的度数。II.寻找无棱二面角的平面角的方法(射影面积法、平移或延长(展)线(面)法)四、射影面积法：利用面积射影公式S射＝S原cos,其中为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角。例在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。解：（面积法）如图，ADPAADABADPBAAPAABA于，同时，BC⊥平面BPA于B，故△PBA是△PCD在平面PBA上的射影设平面PBA与平面PDC所成二面角大小为θ，则cosθ=22PBAPCDsSθ=45°14.如图，设M为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，求平面BMD1与底面ABCD所成的二面角的大小。lABCDPAHMD1C1B1A1BCDABCSD个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司6AlDCαβAlBCαβEBD15.如图，BDAC,，α与β所成的角为600，lAC于C，lBD于B，AC＝3，BD＝4，CD＝2，求A、B两点间的距离。[基础练习]1.二面角是指（）A两个平面相交所组成的图形B一个平面绕这个平面内一条直线旋转所组成的图形C从一个平面内的一条直线出发的一个半平面与这个平面所组成的图形D从一条直线出发的两个半平面所组成的图形2．平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能有（）A1条或2条交线B2条或3条交线C仅2条交线D1条或2条或3条交线3．在300的二面角的一个面内有一个点，若它到另一个面的距离是10，则它到棱的距离是()A5B20C210D2254．下面四个命题中错误命题的个数是（）①没有公共点的两条直线是异面直线；②平面内一点与平面外一点的连线和平面内的直线是异面直线；③和同一条直线都是异面直线的两条直线是异面直线；④和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线。A．1B．2C.3D．45．若直线ba,是异面直线，b与c也是异面直线，则直线a与c的位置关系是（）A．平行或异面B．相交，平行或异面C．异面或相交D．异面6．正方体1111DCBAABCD中，E，F，G，H分别是AB，AD，CD和1CC的中点，那么异面直线EF和GH所成的角是（）A．90°B．60°C．45°D．30°个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司77．两直线a与b异面，过a作平面与b平行，这样的平面（）A．不存在B．有可能存在也有可能不存在C．有唯一的一个D．有无穷多个8．直线l与平面内的两条直线垂直，那么l与的位置关系是（）A．平行B．lC．垂直D．不确定