数据拟合试题及答案

1．用给定的多项式，如y=x3-6x2+5x-3，产生一组数据(xi,yi，i=1,2,…,n),再在yi上添加随机干扰(可用rand产生(0,1)均匀分布随机数,或用rands产生N(0,1)分布随机数)，然后用xi和添加了随机干扰的yi作的3次多项式拟合，与原系数比较。如果作2或4次多项式拟合，结果如何？2.用电压V=10伏的电池给电容器充电，电容器上t时刻的电压为0()()exp(/)vtVVVt，其中0V是电容器的初始电压，是充电常数。试由下面一组t，V数据确定0V，。t0.51234579v6.366.487.268.228.668.999.439.631.解：程序如下：x=1:0.5:10;y=x.^3-6*x.^2+5*x-3;y0=y+rand;f1=polyfit(x,y0,1)%输出多项式系数y1=polyval(f1,x);%计算各x点的拟合值plot(x,y,'+',x,y1)gridontitle('一次拟合曲线');figure(2);f2=polyfit(x,y0,2)%2次多项式拟合y2=polyval(f2,x);plot(x,y,'+',x,y2);gridontitle('二次拟合曲线');figure(3);f4=polyfit(x,y0,4)%4次多项式拟合y3=polyval(f4,x);plot(x,y,'+',x,y3)gridontitle('四次拟合曲线');figure(4);f6=polyfit(x,y0,6)%6次多项式拟合y4=polyval(f6,x);plot(x,y,'+',x,y4)gridontitle('六次拟合曲线');运行结果如下：依次为各个拟合曲线的系数（按降幂排列）f1=43.2000-149.0663f2=10.5000-72.300089.8087f4=0.00001.0000-6.00005.0000-2.5913f6=0.0000-0.00000.00001.0000-6.00005.0000-2.4199运行后，比较拟合后多项式和原式的系数，发现四次多项式系数与原系数比较接近，四次多项式的四次项系数很小。作图后，发现一次和二次多项式的图形与原函数的差别比较大，属于欠拟合的情况，而四次多项式和六次多项式符合得比较好。作图如下：2.解：据题意分析如下:电容器充电的数学模型已经建立。0()()exp(/)vtVVVt(已知V=10)可见，v(t)与τ成指数变化关系，所以在通过曲线拟合的时候，使用指数曲线y＝a1ea2x。(非线性拟合)。首先进行变量代换在程序中用v1代替v(t)，t0代替τ,v2是拟合后的曲线方程：对0()10(10)exp(/)vtvt变形后取对数，有0ln(10())ln(10)(/)vtvt令y=ln(10-)(tv),f1=ln(10-0),f2=-1/t0,则v0=10-exp(f(2))，t0=-1/f(1)。编写程序如下：t=[0.51234579];v1=[6.366.487.268.228.668.999.439.63];y=log(10-v1);f=polyfit(t,y,1)t0=-1/f(1)v0=10-exp(f(2))v2=10-(10-v0)*exp(-t/t0);plot(t,v1,'rx',t,v2,'k:')gridonxlabel('时间t(s)'),ylabel('充电电压(V)');title('电容器充电电压与时间t的曲线');程序运行输出结果如下：f=-0.28351.4766t0=3.5269v0=5.6221即电容器的初始电压为v0=5.6221，τ=3.5629。3.