第三章测度

77第三章可测集合一、内容结构在R积分的情形，被积函数的定义域是区间或简单区域,定义域的度量有明确的意义——长度、面积或体积。在实变函数论中，被积函数的定义域是可测点集，推广积分的概念，首先要定义一般点集的度量，就是本章讨论的集合测度。测度理论的建立有多种方法，不同的实变函数教材引入的方法有所不同，本章为了更直观、更好地理解掌握L积分，通过测度理论的建立推广R积分的数学思想与方法，直接从L测度的引入建立测度理论。对于可测集合性质，主要讨论可测集合的充要条件、零测度集及其性质、可测集合的运算性质、可测集合与Gδ型集、Fδ型集的关系、最常用的可测集类型。主要内容：勒贝格外测度的定义及其基本性质；勒贝格可测集及其基本性质；勒贝格可测集类；开集、闭集、Gδ型集、Fδ型集、Borel集之间的联系。基本要求：理解勒贝格可测集的定义及其几何意义、勒贝格测度及其基本性质，特别是可数可加性；掌握怎样用开集、闭集、Gδ型集、Fδ型集刻画勒贝格可测集；可测集合的类型与充要条件。78二、主要的数学思想与方法1、从长度、面积、体积到一般点集测度概念由内、外测度建立的思想与方法。2、Lebesgue当初首先引入外测度m*与内测度m*,然后通过条件m*A=m*A定义可测集，Caratheodory给出的可测集的导入法：m*T=m*(T∩E)+m*(T∩CT)(T)称E可测，把m*E称为E的测度，记为mE。两种定义引入的背景、相互间的关系、在学习讨论可测集相关性质等问题时的意义与作用。3、合列极限定义的思想与方法。4、零测集的引入及其在实变函数学习中的意义与作用。5、一般可测集由G集、F集、零测集构成的思想与方法。79三、疑难点学习方法（一）直线上有界点集的测度点集的测度更着重于直线上有界点集的测度。用构造的方法来讲解点集的测度，从中我们可以学到一种成套理论的模型。先从最简单的开集测度出发，再学习闭集的测度、一般点集的内测度与外测度及可测集合。点集的测度，抽象之后是长度、面积、体积概念的推广，它与长度、面积、体积性质保持一致性，它的三条基本性质：非负性、单调性、次可加性体现相关属性。点集的测度与空间维数直接相关，这好比一维空间中有限区间的长度不等于零，但有限区间置于平面上其面积等于零，这条性质学习时要很好理解。点集测度构造性定义过程是繁杂的，我们可以从中学习处理问题的思想与方法，但论证问题时应用构造性定义是极不方便的，应用可测集的等价定义:对于任意集合E是可测的，即对任一点集T,有m*T=m*(T∩E)+m*(T∩CE)等价定义形式简洁,论证问题使用方便,注意它在论证问题中的应用。由可测集的基本性质知道，可测集关于差集与可列并的运算是封闭的，可以说，一切可测集所成的类构成一个集合的环。由此可推知，可测集关于交运算也是封闭的。这样，在可测集运算类中进行运算是相当方便的。有的实变函数教材由抽象测度定义直接引入点集测度。抽象测度概括了可测集的最一般特征，同时能把种种具体的测度作为特例。（二）零测度集零测度集是一类特殊的点集，其任意的子集、可数个之并仍保持零测度集的性质。由零测度集，引入了实变函数中特有的“命题几乎处处成立”的重要概念，它揭示了实变函数中许多重要结论的本质，可测集、可测函数、可测函数列、L积分等，有关的性质与关系，几乎都与零测度集有联系。80在本章的学习中，一定要熟记零测度集的典型类型与特例，为往后各章的学习奠定基础。（三）测集的结构以开集、闭集为对象，经过至多可数次并或交的运算所得集称为Borel集。通过学习可知，凡Borel集都可测，但反之不成立，亦并非L可测集都是Borel集。但每个可测集E与Gδ型集、Fδ型集仅相差一个零测度集。这揭示了可测集的一种结构，一切可测集可由Gδ型集、Fδ型集及零测度集所生成。81四、专题选讲㈠点集测度的定义1、点集测度的引入测度论与可测函数是L积分的中心内容，是互相联系的两个方面。测度理论是建立L积分的理论基础，可测集是L积分的积分范围，可测函数是L积分的积分函数。点集测度是连续区域中长度、面积、体积概念的推广。直观地说，点集的测度就是定义点集对应的非负实数对点集进行度量，进而把R积分推广到L积分。对于一般的点集E，怎样定义它的度量，即怎样定义点集的测度呢？由下例看到，直接应用区间长度的定义方法来解决一般点集的测度是行不通的。例1设E是[0，1]中有理点集，用分点0=x0＜x1＜x2＜…＜xn-1＜xn=1将区间[0，1]分成一些小区间，如果把与E有公共点的区间长度的和，当max(xi–xi-1)→0（1≤i≤n）时的极限作为E的测度，由有理数的稠密性，得E的测度等于1。另一方面，对[0，1]上的无理点集[0，1]–E=S，按上述同样的方法，其测度也等于1。由于E与S不相交，其并为[0，1]，由上得矛盾式子：1=1+1。点集测度不能直接应用区间长度进行定义，而通过区间与点列的联系——区间列覆盖点集中的点，先由区间的长度定义开集、闭集的测度，进而再定义有界点集的测度、一般点集的测度。2、点集测度的定义定义1(有界开集的测度)设G为有界非空开集，且GnR,由开集的构造定理,设G有结构表示：G=nkkk1),(其中，),(kk互不相交，它们是G的构成区间。则开集G的L测度定义为它的一切构成区间长度的和，并记为mG,有82mG=nkkk1)(，且mG。定义2(有界闭集的测度)设F为有界非空闭集，任取一个包含F的开区间（a,b）,令G=（a,b）-F,则G为有界开集，定义闭集F的测度为：mF=b–a–mG注1有界闭集测度的定义,通过“任取一个包含F的开区间”而转换为已有开集的测度。注2从几何上明显看出有界闭集F的测度与区间（a,b）选择无关。定义3(有界点集E的L外测度)设E为有界集，所有包含E的开集的测度集合的下确界，称为E的L外测度,并记为m*E，有m*E=},|:|inf{inf11iiiiiFGIEIImG为开集注1外测度定义的等式,是一个实数子集对应的下确界，而这个实数子集是由覆盖E的开集簇的测度而确定。注2由于{G：G为开集，GE}是非空的，例如包含E的开区间便属于这个类。同时开集的测度已有定义，故数集{mG：G为开集，GE}的下确界有意义，并且0Em*。定义4(有界点集E的L内测度)所有含于E中闭集的测度构成集合的上确界称为E的内测度，并记为m*E，有m*E=iiiiEFIEsismF},|:|sup{sup1为闭集注1类似定义3的讨论，m*E有定义，且0m*E。注2由定义3、定义4，有FEG，有m*Em*E即任何有界集的内测度均不超过外测度。83注3注意理解、掌握L外测度与内测度定义的思想与方法：外测度——G覆盖E，取开集、下确界；内测度——F含于E，取闭集、上确界。注4由L外测度与内测度引入L测度的思想，类似于初等数学中圆面积定义为包含圆的外切多边形的面积与内接于圆内多边形的面积的共同确界。在数学分析的定积分中，曲边梯形的面积定义为包含该曲边梯形的阶梯形面积（大和）与含于该曲边梯形内的阶梯形面积（小和）的共同确界。由此有：定义5(有界点集E的L测度)设E是有界点集，当m*E=m*E时，称E为勒贝格可测集，简称L可测集。这时E的外测度与内测度的共同值称为E的测度，记为mE。定义6(无界点集E的L测度)设E是无界点集，若对于任何开区间I，有界集EI都是可测的，称E是L可测的。上述测度的定义过程，有界集与无界集有不同的方法，而且由内、外测度存在且相等得L测度，理论上给出了L测度的构造，但使用起来很不方便。下面的等价定义更加简洁，使用方便。定义7设E是给定点集，如果对任一点集T，有m*T=m*(TT)+m*(TCE)则称E是L可测集，这时E的L外测度又称为E的L测度，记为mE。注定理7给出的可测集定义，不区分E的有界、无界，也不讨论E的内、外测度，只要对任意点集T等式成立，则E是L可测集。有的实变函数教材取此定义作为E可测的充要条件。在对可测集性质与结构的论证中，更多地使用该定义。3、几点说明（1）L测度具有的三条基本性质，是集合测度的特征：非负性、单调性、次可加性，由此保证了L测度与区域长度、面积、体积的一致性，又解决了一般点集的测度定义。例1证明：在R2中，三角形的测度等于它的面积。证明：显然，R2中任意三角形都是可测集。84由于测度的平移不变性，故不妨假设三角形的一个顶点在原点，记三角形为T，其面积记为|T|，因为m(T)=m(-T)所以经平移后可得2m(T)=m(T)+m(-T)=m(P)其中，P是平行四边形。再将P中的子三角形作平移，可使P转换为矩形Q，且有m(P)=m(Q)=|P|=2|T|,从而，得m(T)=|T|.例2证明：圆盘D={(x,y)|x2+y2≤r2}是R2中的可测，且m(D)=πr2证明:记Pn与Qn为D的内接与外切n边正多边形,由Pn与Qn的可测性易知D是可测集.又PnDQn,且m(Pn)=πr2nn)sin(cosnπr2(n→∞)m(Qn)=πr2nn)tan(→πr2(n→∞)所以m(D)=πr2.(2)点集的测度与空间维数有关。在同一个点集上，可以定义不同的测度。对于同一个测度、同一个点集，置于不同维数的空间中它的测度是不同的。例3A=[0，∞],在R中,mA=∞,在R2中,mA=0.例4R中的任一子集于R2可测，且测度为0.85(3)L测度通过对一般的点集进行度量，解决了新的问题。例5设E为[0，1]中的全体有理数，则mE=0.证明：ε0,E可数，设E={r1,r2,r3,…}令Ii=（ri-12i，ri+12i）有|Ii|=i2，且E1iIi而112||iiiIimE≤inf1||iIi所以mE=0.例6Cantor集合为零测度集。证明：设C是Cantor集，P0是[0，1]上C的余集，即是构造时每次去掉的开区间，有C=[0，1]\CP0的测度：mP0=1...32...3232311322nn所以，mC=m[0,1]-mP0=1–1=0.由例5、例6得出，集合的测度与集合的可数性是不同的两类问题，零测度不能区分集合的可数性与不可数性。86(二)可测集合的主要性质1、可测集合的基本性质定理1（外测度性质）集EnR，有（1）非负性：m*E≥0,m*()=0;（2）单调性：若E1E2,则m*E1≤m*E2;（3）次可加性：m*(11)iimEiEi.证明：（1）从定义直接得出。（2）这由E2的每一个L覆盖都是E1的L覆盖得证。（3）不妨设1,)(*iEim，对任意的ε0,以及每个自然数i,存在Ei的L覆盖{Ii,k},使得Ei1,ikIi,kikIi|,|m*(Ei)+i2,由此可知，,,1,1kiikIiEi，11,)(*|,|ikiEimkIi，有{Ii,k|I,k=1,2,……}是1iEi的L覆盖，从而有m*1iEi≤1)(*iEim,由ε的任意性，定理得证。定理2（测度的平移不变性）设ERn，x0∈Rn,记E+{x0}={x+x0,x∈E}，则m*{E+{x0}}=m*(E).87证明：首先，对于Rn中的开矩体I，易知I+{x0}仍是一个开矩体，且各相应的边长长相等，有|I|=|I+{x0}|。其次，对E的任意L覆盖Ik,{Ik+{x0}}仍是的L覆盖，从而由m*(E+{x0})≤1|}{|kkkxI=1||kkI对一切L覆盖取下确界，可知，m*(E+{x0})≤m*(E).反之，考虑对E+x0作一x0平移的向量，可得已有的点集E，同理又有：m*(E)=m*(E+{x0}).定理意义：一个可测集不论其平移到何位置，其测度不变。2、可测集的充要条件定理3E可测的充分必要条件是,,CEBEA有m*(A∪B)=m*A+m*B.证明：必要性。取T=A∪B,则T∩