三角形截长补短证明全等专题辅导与练习

第1页共11页ADCEBABCDEFABCDABCDEFOG全等三角形提优训练一．倍长“中线”问题例1.如图，已知点D是BC边上的一点，CD=AB，∠ADB=∠BAD，AE是△ABD中线，试说明AC=2AE练习1.已知点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE猜想AB与CD数量关系，并说明理由.练习2．已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F，求证：AF＝EF．二．形变质“不变”问题例2.(1)如图，在等边△ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点F，求∠AFE的大小.(2)在等边△ABC中，分别延长CB和AC，在CB和AC的延长线上分别取点D和点E，使得BD＝CE，AD与BE所在直线相交于点F，问第(1)题的结论是否仍然成立？并说明理由.(2)在等边△ABC中，分别延长BC和CA，在BC和CA的延长线上分别取点D和点E，使得BD＝CE，AD与BE所在直线相交于点F，问第(1)题的结论是否仍然成立？并说明理由.练习.如图，正方形ABCD对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E为OC上一点，AG⊥BE于点G，直线AG交直线BD于点F．（1）试问线段OE、OF存在什么关系？写出你的结论并证明.（2）若E为OC延长线上一点，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？画图并证明你的结论．第2页共11页三．动中求“定”问题例3.如图所示，等边三角形ABC的边长为2，点P和Q分别从A和C两点同时出发，做匀速运动，且它们的速度相同．点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，设PQ与直线AC相交于点D，作PE⊥AC于E，当P和Q运动时，线段DE的长是否改变？证明你的结论．1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，点E在边AB上，且BE=BC，过点E作EF//AC，交CD于F点，连接BF．(1)若BC=10,BD=6，线段EF的长；(2)求证：∠CBF=45°-21∠DCB.CDECBF2.（10分）如图，在正方形ABCD中，E是正方形内一点，F是正方形外一点，且EDCFBC,.DEBF（1）求证：；（2）试判断CEF的形状，并证明你的结论；（3）当1,2,135BECEBEC时，求DE的值.第3页共11页24．如图，正方形ABCD中，点E是BA延长线上一点，连接DE，点F在DE上且DF=DC，DG⊥CF于G，DH平分∠ADE交CF于点H，连接BH.（1）若DG=2，求DH的长；（2）求证：BH+DH=2CH.第24题图GHFACBDE第4页共11页24.如图,ABC中,AD为BC边中线，作CEACC于,交AD延长线于点E,过点B作BF∥CE交AD于点F.(1)求证:DFDE(2)若AD=DE+2BD,ABCDCEBAC,求证：○1ADBC○2(21)CEAB1.如图，在△ABC中，∠ACB=45°，AD是△ABC的高，在AD上取点E，使得DE=DB，连接CE并延长，交边AB于点F，连接DF.(1)求证：AB=CE；(2)求证：BF+EF=2FD（第1题图）（第2题图）2.如图，△ABC中，∠ABC=45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，BM交CD于点E，且点E为CD的中点，连接MD，过点D作ND⊥MD于点D，DN交BM于点N．（1）若BC=22，求△BDE的周长；（2）求证：NE－ME=CM．FEDCBANMECDBA第5页共11页（第3题图）（第4题图）3、如图正方形ABCD的边长为6,点E在边AB上，连接ED过点D作FD⊥DE与BC的延长线相交于点F,连接EF与边CD相交于点G、与对角线BD相交于点H．(1)若BD＝BF，求BE的长；(2)若∠2＝2∠1,求证：HF＝HE＋HD．4、如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E.在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC（1）求证：BE=CF；（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME.求证：①ME⊥BC；②DE=DN.5、在正方形ABCD中，E为CD上一点，连接AE，过点C作CF⊥AE的延长线于点F，连接DF，过点D作DG⊥DF交AE于点G．（1）求证：△AGD≌△CFD；（2）若E为CD的中点，求证：CF+EF=GE．6、如图，在正方形ABCD中，点E是AB中点，点F是AD上一点，且DE＝CF，ED、FC交于点G，连接BG，BH平分∠GBC交FC于H，连接DH。（1）若DE＝10，求线段AB的长；（2）求证：DE－HG＝EG。（第5题图）（第6题图）一、选择题1．下列三角形不一定全等的是（）第6页共11页FEDCBAA．有两个角和一条边对应相等的三角形B．有两条边和一个角对应相等的三角形C．斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形D．三条边对应相等的两个三角形2．下列说法：①所有的等边三角形都全等②斜边相等的直角三角形全等③顶角和腰长对应相等的等腰三角形全等④有两个锐角相等的直角三角形全等其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个3.如图，AB平分∠CAD，E为AB上一点，若AC=AD，则下列结论错误的是（）A.BC=BDB.CE=DEC.BA平分∠CBDD.图中有两对全等三角形4.AD是△ABC的角平分线，自D向AB、AC两边作垂线，垂足为E、F，那么下列结论中错误的是()A.DE=DFB.AE=AFC.BD=CDD.∠ADE=∠ADF5.在△ABC中，∠B=∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是130°，那么△ABC中与这个角对应的角是（）．A．∠AB．∠BC．∠CD．∠B或∠C6.如图所示，BE⊥AC于点D，且AD=CD，BD=ED，若∠ABC=54°，则∠E=（）．A．25°B．27°C．30°D．45°7.如右图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，且AB＝10cm，则△BED的周长为()A．5cmB．10cm;C．15cmD．20cm8．如图，AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，则①△ABE≌△ACF；②△BOF≌△COE；③点O在∠BAC的角平分线上，其中正确的结论有（）A．3个B．2个C．1个D．0个9.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过B作BE⊥AD于E，过E作EF∥AC交AB于F，则()A、AF=2BF;B、AF=BF;C、AFBF;D、AFBFEDCBADACEBCBAEFO第7页共11页二、填空题1.如果△ABC≌△A’B’C’，若AB＝A’B’，∠B＝50°，∠C＝70°，则∠A’＝°2.如图，若BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DC=DC，∠BAC=40°，∠ADG=130°，则∠DGF=________。3.如图，△ABC中，E、F分别是AC、AB边上的点，连结BE、CF，若AB=AC，添加条件___________后，△ABE≌△ACF（请填写一个适合的条件即可）11.如图，已知∠A=90°，BD是∠ABC的平分线，AC=10，DC=6，则D点到BC的距离是__________．三、解答题1.如图，AE是∠BAC的平分线，AB=AC。(1)若点D是AE上任意一点，则△ABD≌△ACD；(2)若点D是AE反向延长线上一点，结论还成立吗？试说明你的猜想。2．已知：如图所示，BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，判断PM与PN的关系．3．如图所示，P为∠AOB的平分线上一点，PC⊥OA于C，∠OAP+∠OBP=180°，若OC=4cm，求AO+BO的值．FEDCBAGCBAEFPDACBMNPDACBOBACDE第8页共11页4.如图，∠ABC=90°，AB=BC，BP为一条射线，AD⊥BP，CE⊥PB，若AD=4，EC=2.求DE的长。5．如图所示，A，E，F，C在一条直线上，AE=CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD，可以得到BD平分EF，为什么？若将△DEC的边EC沿AC方向移动，变为如图所示时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由．6.如图，OE=OF，OC=OD，CF与DE交于点A，求证：①∠E=∠F；②AC=AD。7.如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥DF，交AB于点E，连结EG、EF.(1)求证：BG=CF;(2)请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由。8.已知：如图E在△ABC的边AC上，且∠AEB=∠ABC。(1)求证：∠ABE=∠C；(2)若∠BAE的平分线AF交BE于F，FD∥BC交AC于D，设AB=5，AC=8，求DC的长。GDFACBEGDFACBEFEDCBAGFEDCAO第9页共11页10.如图(1)，AB=CD，AD=BC，O为AC中点，过O点的直线分别与AD、BC相交于点M、N，那么∠1与∠2有什么关系？请说明理由。若过O点的直线旋转至图(2)、(3)的情况，其余条件不变，那么图中的∠1与∠2的关系成立吗？请说明理由。11.15.一、选择题（每题３分，共１８分）1．下列命题①同旁内角互补，两直线平行；②全等三角形的周长相等；③直角都相等；④等边对等角.它们的逆命题是真命题的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个第10页共11页2．命题“到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”的结论是()(A)在这条线段的垂直平分线上(B)线段的垂直平分线上有个点(C)这点在这条线段的垂直平分线上(D)这点在垂直平分线上3．下列命题中，真命题是（）A.相等的角是直角B.不相交的两条线段平行C.两直线平行，同位角互补D.经过两点有具只有一条直线.4。命题：①对顶角相等；②平面内垂直于同一条直线的两直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等.其中假命题有（）A、1个B、2个C、3个D、4个5．只用无刻度的直尺就能作出的图形是（）A.延长线段AB至C，使BC＝ABB.过直线L上一点A作L的垂线C.作已知角的平分线D.从点O再经过点P作射线OP6．用尺规作已知角平分线，其根据是构造两个三角形全等，它所用到的识别方法是（）A.SASB.ASAC.AASD.SSS23．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点CA、到直线l的距离分别是1和2，则正方形的边长为.24．如图，等边△ABC，B点在坐标原点，C点的坐标为（6，0），点A关于x轴对称点A′的坐标为_______．五、解答题（共24分）25．如图，在□ABCD中，FE、分别是边BC和AD上的点.请你补充一个条件，使CDFABE≌，并给予证明.（９分）26．“太湖明珠”无锡要建特大城市,有人建议无锡(A)、江阴（B）、宜兴（C）三市共建一个国际机场，使飞机场到江阴、宜兴两城市距离相等，且到无锡市的距离第11页共11页最近.请你设计机场的位置（要保留作图痕迹哦！）.（８分）27.ABCΔ的三边分别为a,b,c且a=22nm,b=2mn,c=22nm(mn,m,n是正整数)，ABCΔ是直角三角形吗？说明理由。（８分）28．如图，工人师傅制作了一个正方形窗架，把窗架立在墙上之前，在上面钉了两块等长的木条GF与GE，E、F分别是AD、BC的中点.（1）G点一定是AB的中点吗？说明理由；（2）钉这两块木条的作用是什么？（９分）六、实践与探究．在ABC中，90ACB，BCAC，直线MN经过点C，且MNAD于D，MNBE于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①ADC≌CEB；②BEADDE；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.（１３分）GFEDCBA