有理数经典例题

有理数考点分析：1、了解正数、负数、有理数的概念，会用正数和负数表示相反意义的量。2、掌握一个数的相反数、绝对值的求法和性质，学习使用数轴，借助数轴理解相反数、绝对值的几何意义，会借助数轴比较有理数的大小。3、掌握有理数的加、减、乘、除法和乘方的运算法则，能进行有理数的加、减、乘、除法、乘方运算和简单的混合运算。4、掌握科学记数法的形式和要点，能按照要求使用科学记数法。5、掌握数的精确度和有效数字个数的确定方法。课前小测：1．水库水位上升3米记作+3米，那么下降了2米记作_____米．2．－│－7│的相反数为____，相反数等于本身的数为_______．3．已知│x│=32，│y│=12，且xy0，则x－y=______．4．近似数1.50精确到_______，用科学记数法表示13040000应记作_______________；若保留三个有效数字，则近似值为_____________。．5．若3x+（1-y）2=0，则20102xy___________6．下列各式计算正确的个数为（）①－1－1=－2②－（－2）3=8③（－114）+（－314）=5④（－12）÷4×14=－12A．1个B．2个C．3个D．4个7．a，b在数轴位置如图1－1所示，则│a│与│b│关系是（）A．│a││b│B．│a│≥│b│C．│a││b│D．│a│≤│b│-11oba8．计算题（1）（－8）÷[（－38）×（－38）÷（－214）];（2）（－16）2÷（12－13）2÷│－6│2×（－12）2内容讲解：知识点1：正数和负数1、正数：大于0的数叫做正数。2、负数：在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。3、0既不是正数也不是负数。4、非负数：正数与零的统称。(表示为：x≥0)例1：把下列各数填在相应的大括号内：74,6,0,14.3,5.0,432,14,5.8,51,27正数集合{_______________________________________________________________…}负数集合{_______________________________________________________________…}非负数集合{_____________________________________________________________…}例2：把热气球上升1000m记作＋1000m，则热气球下降500m，记作________．练习：1．规定往北为正，则往南走150m，应记作________．2．某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，则-5.8元的意义是；如果这种油的原价是76元，那么现在的卖价是.知识点2：有理数，数轴1、有理数：正整数、负整数、0、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。2、有理数的分类：有理数有理数正有理数0负有理数整数分数0负整数正分数负分数正整数3、数轴：通常，用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。数轴上从左往右，数依次变大。数轴满足以下要求：（1）在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点（origin）；（2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；（3）选取适当的长度为单位长度。例1、把下列各数填在相应的大括号内：1，－0.1，-789，25，0，-20，-3.14，-590，76正整数集｛…｝；正有理数集｛…｝；负有理数集｛…｝负整数集｛…｝；自然数集｛…｝；正分数集｛…｝负分数集｛…｝例2.如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（）练习：1.在数轴上画出表示下列各数的点，并按从大到小的顺序排列，用“”号连接起来。4，-|-2|，-4.5，1，02.下列语句中正确的是（）A数轴上的点只能表示整数B数轴上的点只能表示分数C数轴上的点只能表示有理数D所有有理数都可以用数轴上的点表示出来3.①比－3大的负整数是___________;②已知m是整数且-4m3，则m为_______________.③有理数中，最大的负整数是__，最小的正整数是_____,最大的非正数是______.4、把下列各数镇在相应的集合中：.74,7,14.3,0,05.0,432,15,5.9,61,28正数集：{…}；负数集：{…}；正分数集：{…}；负分数集：{…}；整数集：{…}；分数集：{…}．知识点3：相反数1、相反数：只有符号不同的两个数互为相反数．0的相反数是0.2、在数轴上表示互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等.3、若a、b互为相反数，则a+b=0，1ab（a、b≠0）补充：互为倒数的两数之积为1.例1、-5的相反数是；-（-8）的相反数是；-[+（-6）]=0的相反数是；a的相反数是；21的相反数的倒数是_____例2、若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则)(323bacd____.练习：1.若a和b是互为相反数，则a+b＝（）A.–2aB.2bC.0D.任意有理数2.(1)如果a＝－13，那么－a＝______；(2)如果－a＝－5.4，那么a＝______；(3)如果－x＝－6，那么x＝______；(4)－x＝9，那么x＝______.3．若a、b都为有理数，要使ba与ba互为相反数，则应满足的条件是（）．A．0aB．0bC．baD．ba4．-4与______互为相反数，______与－(－7)互为相反数，9的相反数是______．知识点4：绝对值1、绝对值：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。2、由绝对值的定义可知：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。3、绝对值的性质：a、0的绝对值是0，绝对值是0的数是0b、一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0c、任何数的绝对值都不小于原数d、绝对值是相同正数的数有两个，他们互为相反数e、互为相反数的两数绝对值相等f、绝对值相等的两数相等或互为相反数g、若几个数的绝对值之和为0，则这几个数同时为0注意：①数a的绝对值的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离；②│a│≥0，符号“││”是“非负数”的标志；③数a的绝对值只有一个；④处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。4、两个负数，绝对值大的反而小。5、去绝对值)0()0(0)0(||aaaaaa例1、2的绝对值表示它离开原点的距离是个单位，记作.例2、|-8|=,5=,绝对值等于4的数是______.例3、如果3a，则______3a，______3a．练习：1.绝对值等于其相反数的数一定是（）A．负数B．正数C．负数或零D．正数或零2.7x，则______x；7x，则______x3.如果aa22，则a的取值范围是（）A．a＞0B．a≥0C．a≤0D．a＜04.绝对值不大于11的整数有（）A．11个B．12个C．22个D．23个5.已知a、b都是有理数，且|a|=a，|b|=－b、，则ab是（）A．负数；B.正数；C.负数或零；D.非负数6.已知a0，b0，且ab，化简abababba=.7.有理数a,b,c在数轴上对应的点如图:则ccaacaacbccbbaba___________知识点5：有理数的加减乘除法1、有理数的加法法则①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；③互为相反数的两个数相加得0；ac0b④一个数同0相加，仍得这个数.2、加法的运算律：交换律、结合律在运用运算律时，通常有下列规律：（1）互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”（2）符号相同的两个数先相加——“同号结合法”（3）分母相同的两个数先相加——“同分母结合法”（4）几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”（5）整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”3、有理数的减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。4、有理数乘法法则①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘②任何数同0相乘，都得05、几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数个时，积是正数，负因数的个数是奇数个时，积是负数。几个数相乘，如果其中有因数为0，则积等于0。6、乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数是另一个数的倒数。注意：0没有倒数。倒数等于它本身的数是1和-1，不包括0。7、去括号法则：括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同。括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反。8、乘法法则和逆运用：（1）ab＞0a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，即ab＞0a，b同号（2）ab＜0a＞0，b＜0或a＜0，b＞0，即ab＜0a，b异号（3）ab=0a=0，b≠0或a≠0，b=0，或a=0，b=0，即ab=0a，b中至少有一个为09、有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数都得0。0不能做除数。例1.当5732d,c,b,a时，则cbda_______例2．－2的相反数与21的倒数的和的绝对值等于______．例3.已知23x，25y，且0yx，则yx_________例4.（1）|87432||)851(213|（2）)85()1415()43()721(练习：1．若｜a｜＝4，｜b｜＝3，且a，b异号，则｜a－b｜等于()．(A)7(B)±1(C)1(D)1或72．若mn＜0，且m＜0，|m|＞|n|，则m＋n＿＿＿＿0．3．若a＞0，b＜0，c＞0，则(－a)·b·(－c)＿＿＿＿0．若a＋b＜0，且ab＞0，则a＿＿＿＿0，b＿＿＿＿0．4．若xy＞0，则(x＋y)xy一定()．(A)小于0(B)等于0(C)大于0(D)不等于05.计算（1）(＋8)＋(－17)（2）(－32.8)＋(＋51.76)（3）(－3.07)＋(＋3.07)（4）.0)3511|54|7.5(|3.1|（5）)325(0（6）2075.123.22)5.10(（7）;7432.07102.07232.0713.0（8）;31354)2131)(5153(知识点6：有理数的乘方1、一般地，n个相同的因数a相乘，即aa……a，记作an，读作a的n次方。求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数，当an看作a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂。一个数可以看作这个数本身的一次方。注意：（1）一个数可以看做是其本身的一次方。（2）当底数为负数或分数时，要用括号将底数括起来，并在其右上角写上指数，指数要写得小一些。2、乘方运算的符号法则：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0拓展：（1）互为相反数的两个数的奇次幂仍然互为相反数。（2）互为相反数的两个数的偶次幂相等。3、2n+1为奇数，2n为偶数，n+1既可为奇数也可为偶数。（－1）12n=－1；（－1）n2=1；（－1）1n=－1或1。4、有理数的混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。例1、对于(－2)6，6是______的指数，底数是______，(－2)6＝______.对－26，6是____的指数，底数是____，－26＝______例2、计算：(1)34＝______；(2)－34＝______；(3)(－3)4＝______；(4)－(－3)4＝______；32)5(3______；3)32)(6