傅里叶变换的性质

§2.3傅里叶变换性质及定理个随之确定，两者是一一对应的。在实际的信号分析Fft傅氏变换揭示了信号时间特性与频率特性之间的联系。信号可以在时域中用时间函数表示，亦可以在频域中用频谱密度函数表示；只要其中一个确定，另一氏变换基本性质及定理进行讨论就非常重要。内在联系，我们也希望能简化变换的运算，为此对傅的什么样变化？反之亦然。除了明白信号时频之间的当一个信号在时域中发生了某些变化，会引起频域中变换规律有更深入、具体的了解。例如我们希望清楚，中，往往还需要对信号的时、频特性之间的对应关系、一、傅里叶变换性质1.线性傅里叶变换的线性特性表示为若则式中11Ftf22Ftf2121bFaFtbftaf为任意常数。ba、dtetbftaftj212121bFaFdtetfbdtetfatjtj证：利用傅氏变换的线性特性，可以将待求信号分解为若干基本信号之和。2.时延（时移、移位）性傅里叶变换的时延（移位）特性表示为若则时延（移位）性说明波形在时间轴上时延，不改变信号Ftf0101tjeFFttftfdtettftj0dxexftxj0dxexfexjtj00tjejF证：0t线性相位。振幅频谱，仅使信号增加一例2.3-1求如图2-15所示信号tf1的频谱函数1F并作频谱图。，解由上节门函数的变换再由线性与时移性，得到tf1与门函数的关系为21tEftf2SaFtf01tjeEFF22jeSaEttf1E0的振幅、相位频谱函数、如图2-16所示。21SaEFEF2/1tf10F442204422……3、频移性傅里叶变换的频移(调制)特性表示为若则证：Ftf00Fetftjdteetftjtj000Fdtetftj频移(调制)特性表明信号在时域中与复因子tje00ctf0ctje0tje00信号乘以相乘，则在频域中将使整个频谱搬移0。通信技术中的调制是将频谱在附近的低频信号乘以，使其频谱搬移到附近。反之，频谱在0附近的高频使其频谱搬移到，其频谱被搬移到附近，这就是解调。变频是将频谱在附近的信号tje0的应用。乘以，附近。这些都是频移特性实际调制解调的载波信号是正（余）弦信号，借助欧拉这样，若有则这正是调制解调过程中频谱搬移情况，所以这一性质公式正（余）弦信号可以表示为2cos000tjtjeetjeettjtj2sin000Ftf00021cosFFttf00021sinFFjttf也称调制特性。例2-4求解：已知的波形以及频谱如图2-17所示。图。tuttf0cos的频谱函数，并画出频谱，利用频移性jtu1ttu0cos000021212jj220002jtf图2-17例2-4的波形及振幅、相位频谱02/2/0F2/2/0000-110tft-A例2-5求如图2.-18所示解其中ftF并作图。的，tAgtf1ttftf01cos2/1SaAF则010121FFF图2.3-4/2022200SaSaAA22tft令/2001F4422A以及1FF如图2-19所示。F02/A00/204、尺度变换傅里叶变换的尺度变换特性表示为若则证：F，FtfaFaatf10aatfdteatftj0aatxaxt/atfdxadt/1则dxexfaxaj1aFa1令代入上式，F，0aatxaxt/atfdxadt/1则dxexfaxaj1aFa1令代入上式，Fdxexfaxaj1综合0a两种情况，尺度变换特性表示为0a、aFaatf1特别地，当尺度特性说明，信号在时域中压缩，频域中就扩展；反其频谱亦为原频谱的折叠，即。1aftftFtf时，得到的折叠函数，宽无限，反之亦然。的脉宽与频宽成反比。一般来说时宽有限的信号，其频之，信号在时域中扩展，在频域中就一定压缩；即信号aa可以理解为信号波形压缩（扩展）倍，信号随时间变化加快（慢）倍，所以信号所包含的频率分量增加aa（减少）倍，频谱展宽（压缩）倍。又因能量守图2-20表示了矩形脉冲及频谱的展缩情况。恒原理，各频率分量分量的大小减小（增加）a倍。0tf2/2/t02SaAF4422A02/2/1F442/AA02/tft022F22A2A0tf24/4/t5、时域微分特性傅里叶变换的时域微分特性表示为交换微、积分运算次序若则证：所以FtfFjdttdfdeFdtddttdftj21dedtdFtj21deFjtj21Fjdttdf同理，可推广到高阶导数的傅里叶变换Fjdttdfnnn式中j是微分因子。6、时域积分特性傅里叶变换的时域积分特性表示为若则FtfFjFYdftyt10证：特别地，当F时00FFjYdftyt1dtedftytjtdtedtuftjddtetuftjdejfj1defjdejfj1dfFj10FFj1显然，当时，有00FFjdft1从时域上看，一般当利用积分特性可以简化由折线组成的信号频谱的求解。，说明无直流分量则ytdtty是无限区间可积时，即00F。0例2-6求如图2-21(a)所示的频谱函数tf。F2/2/ttfE（a）解：ft22021tttE0(b)2/002//2/21ttEEtftf4414jjeeESaF4sin42ESaj2/2/t/2E/2Etf如图2-21(b)所示。tf22222tttEtftf0tf2/2//4E/2E/2Ettf22222jjeeEF22cos22E4sin82E如图2-21(c)所示00021FF因为最后221FjF4sin8122E422SaE7、频域微分特性傅里叶变换的频域微分特性表示为若则一般频域微分特性的实用形式为对频谱函数的高阶导数亦成立或FtftfjtddFttfddFjnnnndFdjtfttfjtddFnnn证：或ddFdtetfddtjdteddtftjdtetjtftj交换微、积分次序tfjtddFttfddFj所以同理可证高阶导数或tfjtddFnnnnnnndFdjtft例2-7求解：利用的频谱函数。，则tutetfatjatueat1jaddjFtuteat1221jajajj8、对称（偶）性傅里叶变换的对称特性表示为若：则或证：FtfftF2ftF21deFtftj21将变量与互换tdeFtftj21dtetFftj2特别地：当或ttf是的偶函数，那么fftF22tFf21由上式看，在此条件下时域与频域是完全对称性关系。(2-54)tffF的信号，其时域函数必为就是说，当是偶函数时，如果的频谱函数为，则频谱为。tF21例2-8已知解图2-22011FE如图2-22所示，利用对称性求1F。tf11111101EF02/2/ttfEft22021tttE422SaEF其对应的例2-6的波形是如图2-23所示的对称三角波,即比较图2-22、2-23两者变化规律相同，利用对称性可以则得到(只差很方便地求出tf1，因为由图可以看出，只要将ft中的t12；；就有f1F。这样一来tf1亦可由Ft12的，12数)，即：系2121tSaEtF22211211tSaEtFtf利用对称性可以由已知的一对傅氏变换对，方便的推出利用对称性，我们还可以得到任意周期信号的傅氏变换。与之相关的另一对傅氏变换对，从而减少了大量的运算。例2.3-8求解由时延特性，可得tje1的傅氏变换。00tjett利用对称性，将上式中的，我们得到另一对变换对tje11122t0t12变换成、变换成，并乘以系数利用上面结果，可推导周期正、余弦函数的傅氏变换。tjtjeet1121cos111tjtjeejt1121sin111j-1-1110、t1cost1sin的波形与频谱如图2-24所示。0ttf1cosFF1111ttt1sin利用的的频谱函数为tje1傅氏变换，我们还可以推导任意周期函数tjnnnTeFtf112nFnn