高中数学试题：平面向量单元复习题(一)

平面向量单元复习题（一）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．下列命题正确的是（）A.单位向量都相等B.长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量C.若a，b满足|a|＞|b|且a与b同向，则a＞bD.对于任意向量a、b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|2．如图，四边形ABCD中，AB→＝DC→，则相等的向量是（）A.AD→与CB→B.OB→与OD→C.AC→与BD→D.AO→与OC→3．下列命题中，正确的是（）A.若|a|＝|b|，则a＝bB.若a＝b，则a与b是平行向量C.若|a|＞|b|，则a＞bD.若a与b不相等，则向量a与b是不共线向量4．已知AB→＝a＋5b，BC→＝－2a＋8b，CD→＝3（a－b），则（）A.A、B、D三点共线B.A、B、C三点共线C.B、C、D三点共线D.A、C、D三点共线5．当|a|＝|b|≠0且a、b不共线时，a＋b与a－b的关系是（）A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.相等6．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，在向量OB→，OC→，OD→，OE→，OF→，AB→，BC→，CD→，EF→，DE→，FA→中与OA→共线的向量有（）A.1个B.2个C.3个D.4个7．若M是△ABC的重心，则下列向量中与AB→共线的是（）A.AB→＋BC→＋AC→B.AM→＋MB→＋BC→C.AM→＋BM→＋CM→D.3AM→＋AC→8．已知正方形的边长为1，AB→＝a，BC→＝b，AC→＝c，则|a＋b＋c|等于（）A.0B.3C.2D.229．已知OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，OD→＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则（）A.a＋b＋c＋d＝0B.a－b＋c－d＝0C.a＋b－c－d＝0D.a－b－c＋d＝010．已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，且BC→＝a，CA→＝b，AB→＝c，则下列各式：①EF→＝12c－12b②BE→＝a＋12b③CF→＝－12a＋12b④AD→＋BE→＋CF→＝0其中正确的等式的个数为（）A.1B.2C.3D.4二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．如图，M、N是△ABC的一边BC上的两个三等分点，若AB→＝a，AC→＝b，则MN→＝_______.12．已知向量a、b不共线，实数x、y满足向量等式3xa＋(10－y)b＝2xb＋(4y＋4)a，则x＝_____，y＝_____.13．设a表示“向东走4km”，b表示“向北走3km”，则a＋b表示_____________.14．a、b是给定的不共线的向量，且2x－y＝ax＋2y＝b，则向量x＝_________，y＝________.15．已知ABCDEF为正六边形，且AC→＝a，AD→＝b，则用a，b表示AB→为___________.16．已知四个力F1＝（－2，－1），F2＝（－3，2），F3＝（4，－3），F4作用于物体的同一点，若物体受力后保持平衡，则F4＝_____________.三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）如图，ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，M、N分别是DC和AB的中点，已知AB→＝a，AD→＝b，试用a、b表示BC→和MN→.18．（本小题满分14分）已知平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证OA→＋OB→＋OC→＋OD→＝4OE→.19．（本小题满分14分）四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F，求证：EF→＝12（AB→＋DC→）20．（本小题满分15分）在△ABC中，AD→＝14AB→，DE∥BC，与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，设AB→＝a，AC→＝b，试用a，b表示DN→.21．(本小题满分15分）对于两个向量a，b，求证：||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.平面向量单元复习题（一）答案一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．D2．D3．B4．A5．B6．C7．C8．D9．B10．C二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．13（b－a）12．4213．向东偏北arcsin35方向走5km.14．25a＋15b，－15a＋25b15．a－12b16．(1，2)三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）如图，ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，M、N分别是DC和AB的中点，已知AB→＝a，AD→＝b，试用a、b表示BC→和MN→.【解法一】连结CN，则AN∥＝DC∴四边形ANCD是平行四边形.CN→＝－AD→＝－b，又∵CN→＋NB→＋BC→＝0∴BC→＝－CN→－NB→＝b－12a∴MN→＝CN→－CM→＝CN→＋12AN→＝－b＋14a＝14a－b【解法二】∵AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0即：a＋BC→＋（－12a）＋（－b）＝0，∴BC→＝b－12a又∵在四边形ADMN中，有AD→＋DM→＋MN→＋NA→＝0，即：b＋14a＋MN→＋（－12a）＝0，∴MN→＝14a－b.【评注】比较两种解法，显然解法二更简捷.18．（本小题满分14分）已知平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证OA→＋OB→＋OC→＋OD→＝4OE→.【证明】∵E是对角线AC与BD的交点，∴AE→＝EC→＝－CE→，BE→＝ED→＝－DE→.在△OAC中，OA→＋AE→＝OE→，同理有OB→＋BE→＝OE→，OC→＋CE→＝OE→，OD→＋DE→＝OE→.四式相加可得：OA→＋OB→＋OC→＋OD→＝4OE→.19．（本小题满分14分）四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F，求证：EF→＝12（AB→＋DC→）【证法一】∵E、F分别为DA、BC的中点.∴DE→＝EA→，FC→＝BF→又∵EF→＋FC→＋CD→＋DE→＝0①EF→＋FB→＋BA→＋AE→＝0②①＋②，得2EF→＋（FC→＋FB→）＋（CD→＋BA→）＋（DE→＋AE→）＝0∴2EF→＝－CD→＋（－BA→）＝DC→＋AB→∴EF→＝12（AB→＋DC→）【证法二】连结EC，EB∵EF→＋FC→＝EC→①EF→＋FB→＝EB→②①＋②，得2EF→＋0＝EC→＋EB→∴EF→＝12（EC→＋EB→）又∵EC→＝ED→＋DC→③EB→＝EA→＋AB→④③＋④，得EF→＝12（ED→＋DC→＋EA→＋AB→），又∵ED→＋EA→＝0，∴EF→＝12（AB→＋DC→）.20．（本小题满分15分）在△ABC中，AD→＝14AB→，DE∥BC，与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，设AB→＝a，AC→＝b，试用a，b表示DN→.【解】因为M为BC的中点，所以有BM→＝12BC→＝12（AC→－AB→）＝12（b－a）AM→＝AB→＋BM→＝12（a＋b），因为DN→∥BM→，AN→∥AM→.根据向量共线的充要条件，存在实数λ和μ，使得DN→＝λBM→＝12λ（b－a），AN→＝μAM→＝12μ（a＋b）因为AN→＝AD→＋DN→＝14a＋12λ(b－a)＝(14－λ2)a＋λ2b根据基本定理有14－λ2＝μ2λ2＝μ2，解方程得λ＝μ＝14，可得DN→＝18（b－a）.21．(本小题满分15分）对于两个向量a，b，求证：||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.【证明】（1）若a、b中有一个为0时，不等式显然成立.（2）若a，b都不等于0时，作OA→＝a，AB→＝b，则OB→＝a＋b.①当a、b不共线时，如图（1）有||OA→|－|AB→||＜|OB→|＜|OA→|＋|AB→|（1）即：||a|－|b||＜|a＋b|＜|a|＋|b|.②当a、b共线时1°若a、b同向，如图（2）有（2）|OB→|＝|OA→|＋|AB→|即：|a＋b|＝|a|＋|b|.2°若a，b反向时，如图（3）有（3）||OA→|－|AB→||＝|OB→|即：||a|－|b||＝|a＋b|综上可知：||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.