绝对值不等式

绝对值不等式适用学科高中数学适用年级高中三年级适用区域全国通用课时时长（分钟）60分钟知识点不等式的性质、基本不等式、绝对值不等式的证明、柯西不等式教学目标学会推导并掌握均值不等式定理；了解绝对值三角不等式的含义，理解绝对值三角不等式公式及推导方法，会进行简单的应用；会证明二维柯西不等式教学重点绝对值不等式的证明、基本不等式的应用教学难点柯西不等式的应用教学过程一、课堂导入不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。二、复习预习1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：0baba0baba0baba得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。2、不等式的基本性质：①、如果ab，那么ba，如果ba，那么ab。(对称性)②、如果ab，且bc，那么ac，即ab，bcac。③、如果ab，那么a+cb+c，即aba+cb+c。推论：如果ab，且cd，那么a+cb+d．即ab，cda+cb+d．④、如果ab，且c0，那么acbc；如果ab，且c0，那么acbc．⑤、如果ab0，那么nnba(nN，且n1)⑥、如果ab0，那么nnba(nN，且n1)。三、知识讲解考点/易错点1定理1：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab（当且仅当a＝b时取“＝”号）证明：a2＋b2－2ab＝（a－b）2当a≠b时，（a－b）2＞0，当a＝b时，（a－b）2＝0所以，（a－b）2≥0即a2＋b2≥2ab由上面的结论，我们又可得到定理2（基本不等式）：如果a，b是正数，那么a＋b2≥ab（当且仅当a＝b时取“＝”号）证明：∵（a）2＋（b）2≥2ab∴a＋b≥2ab，即a＋b2≥ab显然，当且仅当a＝b时，a＋b2＝ab说明：1）我们称a＋b2为a，b的算术平均数，称ab为a，b的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2）a2＋b2≥2ab和a＋b2≥ab成立的条件是不同的：前者只要求a，b都是实数，而后者要求a，b都是正数.考点/易错点2定理3：如果Rcba,,，那么33abccba。当且仅当cba时，等号成立。推广：naaan21≥nnaaa21。当且仅当naaa21时，等号成立。aabb考点/易错点3定理如果,ab是实数，则abab≤（当且仅当0ab≥时，等号成立.）（1）若把ba,换为向量ba,情形又怎样呢？根据定理1，有bbabba，就是，abba。所以，baba。定理（绝对值三角形不等式）如果,ab是实数，则ababab≤≤注：当ba,为复数或向量时结论也成立.推论1：1212nnaaaaaa≤推论2：如果abc、、是实数,那么acabbc≤,当且仅当()()0abbc≥时,等号成立.aba考点/易错点4关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。下面分别就这两类问题展开探讨。1、解在绝对值符号内含有未知数的不等式（也称绝对值不等式），关键在于去掉绝对值符号，化成普通的不等式。主要的依据是绝对值的几何意义.2、含有绝对值的不等式有两种基本的类型。第一种类型：设a为正数。根据绝对值的意义，不等式ax的解集是}|{axax，它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于a的点的集合是开区间（－a，a），如图所示。a图1-1a如果给定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的结果来解。第二种类型：设a为正数。根据绝对值的意义，不等式ax的解集是{|xax或ax}，它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于a的点的集合是两个开区间),(),,(aa的并集。如图1-2所示。–aa图1-2同样，如果给定的不等式符合这种类型，就可以直接利用它的结果来解。3、cbax和cbax型不等式的解法。cbaxccbax；cbaxcbaxcbax或4、cbxax和cbxax型不等式的解法。可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解．(1)零点分区间法的一般步骤①令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；②将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集；④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集．(2)利用绝对值的几何意义由于|x－a|＋|x－b|与|x－a|－|x－b|分别表示数轴上与x对应的点到a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)或|x－a|－|x－b|≥c(c＞0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观．5．|f(x)|＞g(x)，|f(x)|＜g(x)(g(x)＞0)型不等式的解法(1)|f(x)|＞g(x)⇔f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)．(2)|f(x)|＜g(x)⇔－g(x)＜f(x)＜g(x)．[提醒]解含绝对值号的不等式要注意分类讨论思想的应用．考点/易错点5柯西不等式(1)设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．(2)设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．四、例题精析【例题1】1．不等式|1||2|4xx的解集是A.53(,)22B.53[,]22C.3[2,]2D.5[,1)2【答案】B【解析】由绝对值的几何意义，得21xx表示数轴上的点x到点2,1的距离之和，易知，当25x或23x时，421xx；所以|1||2|4xx的解集为53[,]22.【例题2】已知函数122)(xxxf（1）解不等式2)(xf；（2）对任意,ax，都有)(xfax成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）23x6；（2）a-2或a4；【解析】（1）()fx-2，当2x时，24x,即2x，∴x；当12x时，23x,即32x,∴213x；当1x时，24x,即6x,∴1x6综上，{x|23x6}（2）1,412,32,4)(xxxxxxxf函数()fx的图像如图所示：令axy，a表示直线的纵截距，当直线过（1,3）点时，2a；∴当-a2，即a-2时成立；当2a，即2a时，令axx4，得22ax,∴a2+2a,即a4时成立，综上a-2或a4。43xy【例题3】（1）已知a，b都是正数，且ab，求证：；（2）已知a，b，c都是正数，求证：222222abbccaabcabc．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析．【解析】（1）33222()()()()ababababab，∵a，b都是正数，∴0ab，又∵ab，∴2()0ab，于是2()()0abab，即3322()()0ababab，∴3322ababab。（2）∵222bcbc，20a，∴2222()2abcabc①，同理2222()2bacabc②，2222()2cababc③，①②③相加得2222222222()222abbccaabcabcabc，从而222222()abbccaabcabc，由a，b，c都是正数，得0abc，因此222222abbccaabcabc．3322ababab【例题4】已知关于x的不等式|2|1mx，其解集为[0,4].（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a，b均为正实数，且满足abm，求22ab的最小值.【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）92【解析】（Ⅰ）不等式|2|1mx可化为|2|1xm，∴121mxm，即31mxm，∵其解集为[0,4]，∴3014mm，3m.（Ⅱ）由（Ⅰ）知3ab，（方法一：利用基本不等式）∵222()2ababab222222()()2()ababab，∴2292ab，∴22ab的最小值为92.（方法二：利用柯西不等式）∵222222()(11)(11)()9ababab，∴2292ab，∴22ab的最小值为92.（方法三：消元法求二次函数的最值）∵3ab，∴3ba，∴222222399(3)2692()222abaaaaa，∴22ab的最小值为92.【例题5】设函数()|21||3|fxxx。（Ⅰ）解不等式()0fx；（Ⅱ）已知关于x的不等式3()afx恒成立，求实数a的取值范围。【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由题意得：113322213021302130xxxxxxxxx或或1133222443xxxxxx或或，所以的解集为：（Ⅱ）因为14,21()32,324,3xxfxxxxx所以min7713(),3,222fxaa，而min3()afx，即),32()4,(213a0)(xf),32()4,(213a【例题6】设函数fxxa．（1）当2a时，解不等式41fxx；（2）若1fx的解集为0,2，110,02amnmn，求证：24mn．【答案】（1）17,,22；（2）见解析．【解析】（1）当2a时，不等式为214xx，不等式的解集为17,,22；（2）1fx即1xa，解得11axa，而1fx解集是0,2，1012aa，解得1a,所以1110,02mnmn，所以112(2)42mnmnmn．五、课堂小结1.基本不等式的应用2.绝对值不等式的解法3.不等式的证明方法