25平面直角坐标系下的动点问题专题复习

如图1，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，5OA，4OC．（1）在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求DE，两点的坐标；（2）如图2，若AE上有一动点P（不与AE，重合）自A点沿AE方向向E点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t秒（05t），过P点作ED的平行线交AD于点M，过点M作AE的平行线交DE于点N．求四边形PMNE的面积S与时间t之间的函数关系式；当t取何值时，S有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的条件下，当t为何值时，以AME，，为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M的坐标．【思路点拨】（1）折痕AD是四边形OAED的对称轴（2）四边形PMNE为矩形．（3）AME△为等腰三角形分类讨论。已知：矩形纸片ABCD中，AB=26厘米，BC=18.5厘米，点E在AD上，且AE=6厘米，点P是AB边上一动点．按如下操作：步骤一，折叠纸片，使点P与点E重合，展开纸片得折痕MN（如图1所示）；步骤二，过点P作PT⊥AB，交MN所在的直线于点Q，连接QE（如图2所示）（1）无论点P在AB边上任何位置，都有PQ=QE（填“＞”、“=”、“＜”号）；（2）如图3所示，将纸片ABCD放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作：①当点P在A点时，PT与MN交于点Q1，Q1点的坐标是（0，3）；②当PA=6厘米时，PT与MN交于点Q2，Q2点的坐标是（6，6）；③当PA=12厘米时，在图3中画出MN，PT（不要求写画法），并求出MN与PT的交点Q3的坐标；（3）点P在运动过程，PT与MN形成一系列的交点Q1，Q2，Q3，…观察、猜想：众多的交点形成的图象是什么并直接写出该图象的函数表达式．③③解：（1）PQ=QE．（2分）（2）①（0，3）；②（6，6）．（6分）③画图，如图所示．（8分）解：方法一：设MN与EP交于点F．在Rt△APE中，∵，∴．∵∠Q3PF+∠EPA=90°，∠AEP+∠EPA=90°，∴∠Q3PF=∠AEP．又∵∠EAP=∠Q3FP=90°，∴△Q3PF∽△PEA．∴．yxBCOADE图1yxBCOADE图2PMNX=1OLPXYCBA∴．∴Q3（12，15）．（11分）方法二：过点E作EG⊥Q3P，垂足为G，则四边形APGE是矩形．∴GP=6，EG=12．设Q3G=x，则Q3E=Q3P=x+6．在Rt△Q3EG中，∵EQ32=EG2+Q3G2∴x=9．∴Q3P=15．∴Q3（12，15）．（11分）（3）这些点形成的图象是一段抛物线．（12分）函数关系式：y=x2+3（0≤x≤26）．（14分）说明：若考生的解答：图象是抛物线，函数关系式：y=x2+3均不扣分．如图，在平面直角坐标系中，点(30)C，，点AB，分别在x轴，y轴的正半轴上，且满足2310OBOA．（1）求点A，点B的坐标．（2）若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连结AP．设ABP△的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使以点ABP，，为顶点的三角形与AOB△相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）注意坐标值与线段长度关系；（2）求得90ABC（3）分类讨论。如图，点A在Y轴上，点B在X轴上，且OA=OB=1，经过原点O的直线L交线段AB于点C，过C作OC的垂线，与直线X=1相交于点P，现将直线L绕O点旋转，使交点C从A向B运动，但C点必须在第一象限内，并记AC的长为t，分析此图后，对下列问题作出探究：（1）当△AOC和△BCP全等时，求出t的值。（2）通过动手测量线段OC和CP的长来判断它们之间的大小关系？并证明你得到的结论。（3）①设点P的坐标为（1,b）,试写出b关于t的函数关系式和变量t的取值范围。②求出当△PBC为等腰三角形时点P的坐标。2、(湖北天门)如图①，在平面直角坐标系中，A点坐标为(3，0)，B点坐标为(0，4)．动点M从点O出发，沿OA方向以每秒1个单位长度的速度向终点A运动；同时，动点N从点A出发沿AB方向以每秒35个单位长度的速度向终点B运动．设运动了x秒．(1)点N的坐标为(________________，________________)；(用含x的代数式表示)(2)当x为何值时，△AMN为等腰三角形？(3)如图②，连结ON得△OMN，△OMN可能为正三角形吗？若不能，点M的运动速度不变，试改变点N的运动速度，使△OMN为正三角形，并求出点N的运动速度和此时x的值．OMAxNBy图①OMaaaaaAxNBy图②yxAOCB（1）依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，在RtABE△中，5AEAO，4AB．2222543BEAEAB．2CE．E点坐标为（2，4）．在RtDCE△中，222DCCEDE，又DEOD．222(4)2ODOD．解得：52CD．D点坐标为502，（2）如图①PMED∥，APMAED△∽△．PMAPEDAE，又知APt，52ED，5AE5522ttPM，又5PEt．而显然四边形PMNE为矩形．215(5)222PMNEtSPMPEttt矩形21525228PMNESt四边形，又5052当52t时，PMNES矩形有最大值258．（3）（i）若以AE为等腰三角形的底，则MEMA（如图①）在RtAED△中，MEMA，PMAE，P为AE的中点，1522tAPAE．又PMED∥，M为AD的中点．过点M作MFOA，垂足为F，则MF是OAD△的中位线，1524MFOD，1522OFOA，当52t时，5052，AME△为等腰三角形．此时M点坐标为5524，．（ii）若以AE为等腰三角形的腰，则5AMAE（如图②）在RtAOD△中，2222555522ADODAO．过点M作MFOA，垂足为F．PMED∥，APMAED△∽△．APAMAEAD．5525552AMAEtAPAD，152PMt．5MFMP，525OFOAAFOAAP，当25t时，（0255），此时M点坐标为(5255)，．综合（i）（ii）可知，52t或25t时，以AME，，为顶点的三角形为等腰三角形，相应M点的坐标为5524，或(5255)，．yxBCOADE图①PMNFyxBCOADE图②PMNF如图，将OA=6，AB=4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M、N以每秒１个单位的速度分别从点A、C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP．（1）点B的坐标为；用含t的式子表示点P的坐标为；(3分)（2）记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0t6）；并求t为何值时，S有最大值？(4分)（3）试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC面积的13？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．(3分)(2010•福建省莆田市)如图1，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=1，OC=2，点D在边OC上且54OD.（1）求直线AC的解析式；（2）在y轴上是否存在点P，直线PD与矩形对角线AC交于点M，使得DMC△为等腰三角形？若存在，直接写出．．．．所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.（3）抛物线2yx经过怎样平移，才能使得平移后的抛物线过点D和点E（点E在y轴正半轴上），且ODE△沿DE折叠后点O落在边AB上O′处？（2010•鸡西）如图,矩形OABC在平面直角坐标系中,若OA、OC的长满足22230OAOC.⑴求B、C两点的坐标.⑵把△ABC沿AC对折,点B落在点B′处,线段AB′与x轴交于点D,求直线BB′的解析式．⑶在直线BB′上是否存在点P,使△ADP为直角三角形？若存在,请直接写出P点坐标；若不存在,请说明理由.(2010•攀枝花)22．(12分)如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝23，点P是边BC上的动点(点P不与B、C重合)，过点P作直线PQ∥BD，交CD边于点Q，再把△CPQ沿着直线PQ对折，点C的对应点是点R．设CP＝x，△PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y．(1)求∠CPQ的度数；(2)当x取何值时，点R落在矩形ABCD的边AB上？(3)当R在矩形ABCD外部时，求y与x的函数关系式及此时函数值y的取值范围．ABCDQPRDAERFBCPQOABCPNMxyOABCxy（备用图）第25题xB′BAyCDO