长方体和正方体专题

华正教育培训中心1长方体和正方体知识结构一、长方体1、定义：由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。2、长方体特点：（1）有6个面，8个顶点，12条棱，相对的面的面积相等，相对的棱长相等。（2）一个长方体最多有6个面是长方形，最少有4个面是长方形，最多有2个面是正方形。二、正方体1、定义：由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫立方体）。2、正方体特点：（1）有6个面，8个顶点，12条棱，每个面的面积都相等，所有棱长相等。（3）正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。相同点不同点面棱长方体都有6个面，12条棱，8个顶点。6个面都是长方形。（有可能有两个相对的面是正方形）。相对的棱的长度都相等正方体6个面都是正方形。12条棱都相等。3、长方体、正方体有关棱长计算公式：长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4＝长×4+宽×4+高×4L=（a＋b＋h）×4长=棱长总和÷4－宽－高a=L÷4－b－h宽=棱长总和÷4－长－高b=L÷4－a－h高=棱长总和÷4－长－宽h=L÷4－a－b正方体的棱长总和=棱长×12L=a×12正方体的棱长=棱长总和÷12a=L÷124、长方体或正方体6个面和总面积叫做它的表面积。长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2S=2（ab＋ah＋bh）华正教育培训中心2无底（或无盖）长方体表面积=长×宽＋（长×高＋宽×高）×2S=2（ah＋bh）＋ab或S=2（ab＋ah＋bh）－ab无底又无盖长方体表面积=（长×高＋宽×高）×2S=2（ah＋bh）正方体的表面积=棱长×棱长×6S=6a2☞生活实际：油箱、罐头盒等都是6个面游泳池、鱼缸等都只有5个面水管、烟囱等都只有4个面注意1：用刀分开物体时，每分一次增加两个面。（表面积相应增加）两物体拼成一个物体时，减少两个面。（表面积相应减少）注意2：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，表面积会扩大倍数的平方倍。（如长、宽、高各扩大2倍，表面积就会扩大到原来的4倍）。5、物体所占空间的大小叫做物体的体积。长方体的体积=长×宽×高V=abh长=体积÷宽÷高a=V÷b÷h宽=体积÷长÷高b=V÷a÷h高=体积÷长÷宽h=V÷a÷b正方体的体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a=a3读作“a的立方”表示3个a相乘，（即a·a·a）长方体或正方体底面的面积叫做底面积。长方体（或正方体）的体积=底面积×高用字母表示：V=Sh（横截面积相当于底面积，长相当于高）。注意：一个长方体和一个正方体的棱长总和相等，但体积不一定相等。6、箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做他们的容积。（1）、固体一般就用体积单位，计量液体的体积，如水、油等常用的容积单位升和毫升，也可以写成L和ml。1升=1立方分米1毫升=1立方厘米1升=1000毫升（1L=1dm31ml=1cm3）（2）长方体或正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同。但要从容器里面量长、宽、华正教育培训中心3高。（所以，对于同一个物体，体积大于容积。）注意：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，体积就会扩大倍数的立方倍。（如长、宽、高各扩大2倍，体积就会扩大到原来的8倍）。*形状不规则的物体可以用排水法求体积，形状规则的物体可以用公式直接求体积。排水法的公式：V物体=V现在－V原来也可以V物体=S×(h现在-h原来)V物体=S×h升高7、【体积单位换算】大单位小单位小单位大单位进率：1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米（立方相邻单位进率1000）1立方分米＝1000立方厘米＝1升＝1000毫升1立方厘米＝1毫升1平方米=100平方分米=10000平方厘米1平方千米=100公顷=1000000平方米注意：长方体与正方体关系把长方体或正方体截成若干个小长方体（或正方体）后，表面积增加了，体积不变。重量单位进率，时间单位进率，长度单位进率【单位换算】大单位小单位小单位大单位长度单位：1千米=1000米1分米=10厘米1厘米=10毫米1分米=100毫米1米=10分米=100厘米=1000毫米（相邻单位进率10）面积单位：1平方千米=100公顷1平方米=100平方分米1平方分米=100平方厘米1公顷=10000平方米（平方相邻单位进率100）质量单位：1吨=1000千克1千克=1000克人民币：1元=10角1角=10分1元=100分×进率÷进率×进率÷进率华正教育培训中心4有关棱长的计算1、做10个棱长8厘米的正方体铁框架，至少需多长的铁丝？2、用一根长36厘米的铁丝围成一个正方体，它的表面积和体积分别是多少？3、一个长方体的长是10厘米，宽是8厘米，高是4.5厘米，它的棱长之和是多少？有关表面积的计算1、一个长方体的长是4分米，宽是2.5分米，高是3分米，求它的表面积是多少平方分米？2、用铁皮做一个铁盒，使它的长、宽、高分别是1.8分米，1.5分米和1.2分米，做一个这样的铁盒至少要用铁皮多少平方米？3、做一个没盖的正方体玻璃鱼缸，棱长是3分米，至少需要玻璃多少平方米？华正教育培训中心54.1、我们学校要粉刷教室，教室长8米，宽7米，高3.5米，扣除门窗、黑板的面积13.8平方米。（1）粉刷面积是多少平方米？（2）如果每平方米需要5元涂料费。粉刷一个教室需要多少钱？（3）在实际粉刷时有1/8的损耗，粉刷仓库实际需要多少升？4.2、有一个养鱼池长18米，宽12米，深3.5米，要在养鱼池各个面上抹一层水泥，防止渗水，如果每平方米用水泥5千克，一共需要水泥多少千克？5.1、一个商品盒是棱长为6厘米的正方体，在这个盒的四周贴上商标，贴商标的面积最大是多少平方厘米？5.2、做24节长方体的铁皮烟囱，每节长2米，宽4分米，高3分米，至少用多少平方米的铁皮？6.1、用木版做长、宽、高分别是2.8分米，1.5分米和2.2分米抽屉，做5个这样的抽屉至少要用木版多少平方米？华正教育培训中心66.2、加工厂要加工一批电视机机套，（没有底面）每台电视机的长60厘米，宽50厘米、高55厘米，做1000个机套至少用布多少平方米？10、一个长方体的金鱼缸，长是8分米，宽是5分米，高是6分米，不小心前面的玻璃被打坏了，修理时配上的玻璃的面积是（）有关体积计算1、一个长方体的长是4分米，宽是2.5分米，高是3分米，求它的体积是多少立方分米？2.1、一个长方体，底面积是30平方分米，高3米，它的体积是多少立方分米？2.2、一根长方体木料，长2.5米，横截面的面积是1.44平方分米。这根木料的体积是多少立方分米？华正教育培训中心72.3、一个长方体油桶的容积是18升。它的长是25厘米，宽是16厘米。这个油桶的高是多少厘米？2.4学校运来7.6立方米沙土，把这些沙土铺在一个长5米，宽3.8米的沙坑里，可以铺多厚？2.5体育场用37.5立方米的煤渣铺在一条长100米、宽7.5米的直跑道上。煤渣可以铺多厚？3.1、有一种长方体钢材，长2米，横截面是边长为5厘米的正方形，这种方刚的体积是多少？如果每立方分米钢重7.8千克，这根方钢材重多少千克？3.2、一个长方体沙坑，长4米，宽2米，深0.5米，如果每立方米黄沙重1.4吨，这黄沙重多少吨？4、一张写字台，长1.3m宽0.6m、高0.8m有20张这样的写字台要占多大空间?5.1、一个棱长是5分米的正方体鱼缸，里面装满水，把水倒入一个底面积48平方分米，高6分米的的长方体鱼缸里，鱼缸里水有多深？华正教育培训中心85.2、一个棱长8分米的正方体水槽里装了490升水，把这些水倒入一个长10分米，宽7分米，高8分米的长方体水槽里，水槽里的水深是多少？5.3、把一块棱长8厘米的正方体钢坯，锻造成长16厘米，宽5厘米的长方体钢板，这钢板有多厚？（损耗不计）6.1、一个长方体油桶，底面积是18平方分米，它可装43.2千克油，如果每升油重0.8千克，油桶内油高是多少？6.2、一个长方体玻璃缸，从里面量长40厘米，宽25厘米，水深12厘米，把一块石头浸入水中后，水面上升到16厘米，求石块的体积？7、在一个长50厘米，宽40厘米的长方体玻璃缸中，放入一块棱长为10厘米的正方体铁块，这时水深20厘米，若把铁块取出，缸中水深多少厘米？8、80根方木，垛成一个长2米，宽2米，高1.5米的长方体，平均每根方木的体积是多少立方米？合多少立方分米？9、家具厂订购500根方木，每根方木横截面面积是25平方分米，长是3.8米，这些木料的体积是多少立方米？华正教育培训中心910、一个正方体茶叶箱的棱长是0.8米，如果每立方分米可装茶叶40克，这个茶叶箱可装多少茶叶？11、一个长方体的高增加2厘米就成为一个正方体，表面积比原来增加了48平方厘米。原来长方体的体积是多少？12、一个长和宽都是2.5分米，高是35厘米的无盖长方体铁皮水桶，能盛水多少升？表面、体积综合运用1、一个无盖长方体水箱，长2米，宽8分米，高6分米，做成这个水箱需铁皮多少平方分米？最多装水几升？2、一个长方体蓄水池，长8m，宽5m，深3m。(1)这个蓄水池占地面积是多少？(2)它最多可容水多少立方米？(3)如果在四周和底部抹上水泥，则抹水泥的面积是多少平方米？华正教育培训中心103、一个长方体游泳池长60米，宽30米，深2米，游泳池占地多少平方米？沿游泳池的内壁1.5米处用红漆划一条水位线，这条线的长度是多少？现在游泳池内的水正好到达水位线，求池内水的体积？4.1、把一块长26dm的长方形木板，在四个角上分别剪去边长为3dm的正方形，将它制成容积为840立方分米的长方体无盖容器，这块木板原来的宽是多少？4.2一个长方形铁皮长30cm,宽25cm，从四个角各切掉一个长为5cm的正方形，然后做成一个无盖的盒子，这个盒子用了多少铁皮？它的容积是多少？5.1、3个棱长都8厘米的正方体，拼成一个长方体，它的体积和表面积各是多少？5.2、把长8厘米，宽12厘米，高5厘米长方体木块锯成棱长2厘米的正方体木块，可锯多少块？5.3、一个底面是正方形的长方体木料，长是5米，把它截成4段，表面积增加36平方米，求长方体的体积？5.4、把两块棱长为1.5分米的正方体木块拼成一个长方体，这个长方体的体积和表面积各是多少？