2012届江苏苏教版学海导航高中新课标总复习(第1轮)文数：第8章第46讲 两条直线的位置关系

【例1】已知两直线l1：(a－1)x＋(a＋1)y＋1＝0，l2：ax＋(a－1)y＋2＝0，则当a为何值时，(1)l1∥l2;(2)l1⊥l2?两直线的位置关系12121212121212112211222001021111011alylxllalxlxyllalxylyllaaaalaala当＝时，直线的方程为＝－直线的方程为＝－，显然；当＝－时，直线的方程为＝，直线的方程为＋－＝，与不平行也不垂直；当＝时，直线的方程为－＋＋＝，直线的方程为＝，与不平行也不垂直；当且－且时，直线方法的斜率为，直线的：斜率为【解析】1212121211//1131//.311111211.212aallaaaallaallaaaaall欲使，必须＝，解得＝即当＝时，欲使，必须＝－，解得＝－即当＝和＝－时，122122//1(1)()031032)(1)(1)(1)021011122llaaaaaallaaaaaaaa－－＋＝，即－＋＝，得＝－＋＋－＝，即－－＝，解得＝－或方＝－法：本题是由两直线的位置关系，确定参数的取值问题．一般地，若直线l1与l2的方程分别为A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0，l1⊥l2A1A2＋B1B2＝0.如果记住了这两个结论，就可以避免讨论．23{()|1}2{()|(1)(1)}115yAxyaxBxyaxayaAB集合＝，＝＋，＝，－＋－＝，当为何值时，【变式练习】＝？22(1)210(2,3)(1)(1)(1)(1)12,32,3(1)(1)155425142AaxyaaaaaBaxayaaaAB注意到集合表示直线＋－－＋＝除去点，故两直线平行，则应有－－＝－＋，所以＝，若直线过点，则将点代入－＋－＝，得＝－或综上，当＝，或＝－或时，【析】＝解对称问题【例2】一条光线经过点P(2,3)，射在直线l：x＋y＋1＝0上，反射后穿过点Q(1,1)．(1)求光线的入射光线方程；(2)求这条光线从P到Q的长度．【解析】先求出Q关于直线l的对称点Q′的坐标，从而可确定过PQ′的直线方程．(1)设点Q′(x′，y′)为Q关于直线l的对称点，且QQ′交l于M点，因为kl＝－1，所以kQQ′＝1，所以QQ′所在直线方程为x－y＝0.21011(,)02211(1')22,(22)11(1')22225420.3222||,|||3222xyMMQQxyxQylNPNQyxxylQQNQNQPNNQPNNQPQ由得点坐标为，又因为为中点，故由－，－．设入射光线与交点为，且，，共线，得入射光线方程为，即－＋＝因为是的垂直平分线，因而：＝所以＋＝＋＝＝224141PQ＝即这条光线从到的长度是无论是求曲线关于直线的对称方程，还是解答涉及对称性的问题，关键在于掌握点关于直线的对称点的求法．【变式练习2】有一条光线从点A(－2,1)射到直线l：x－y＝0上后再反射到点B(3,4)，求反射光线的方程．()11112221022(12)350.AlAabbaababABxy设点关于直线的对称点的坐标为，，则有，解得即的坐标为，－，又反射光线经过点，则得反射光线的方程为－－【】＝解析直线过定点问题【例3】当实数a变化时，直线l1：(2a＋1)x＋(a＋1)y＋(a－1)＝0与直线l2：m2x＋2y＋2n－6＝0都过同一个定点.(1)当实数m、n变化时，求P(m，n)所在曲线C的方程;(2)过点(－2,0)的直线l与(1)中所求曲线C交于E、F两点，又过E、F作曲线C的切线l1、l2，当l1⊥l2时，求直线l的方程．1122222(21)(1)0.2102103(2,3)(2,3)26260.1lxyaxyxyxxyyllmnnmPCyxCyx：＋＋＋＋－＝令，得，所以直线过点－．因为点－在直线上，所以－＋＋－＝，所以＝，即点在曲线：＝上．所以曲线的方程为析＝【解】112221222212121212(2)()()222.20.(2)802.122128180.1(2)820.8lykxExyFxyyxyxxxxyxkxkykxkkxxkxxkllxxkklyxxy设直线的方程为＝＋，，，，因为＝，所以＝，所以两切线的斜率为、由，得－－＝则＝＋，＋＝，＝－当时，＝－，所以－＝－，得＝符合所以直线的方程为＝＋，即－＋＝(1)对求动直线过定点的问题，也可以对参数a取两个不同值后得到的两直线，求出它们的交点，得到定点坐标；(2)曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处的切线l的斜率k＝f'(x0)．【变式练习3】已知直线l：(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0及点P(3,4)．(1)证明直线l过某定点，并求该定点的坐标；(2)当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程．(21)(1)0210102102103(2,3)535(2)570.12laxybxyabxyxyxyxxyylQlPQPlllyxxy【解将直线的方程化为：＋＋＋＋－＝，所以无论，如何变化，该直线系都恒过直线＋＋＝与直线＋－＝的交点．由，得所以直线过定点－当时，点到直线的距离最大，此时直线的斜率为－，所以直线的方程为－＝－＋，即＋＋＝析】1.设A＝{(x，y)|y＝－4x＋6}，B＝{(x，y)|y＝3x－8}，则A∩B＝_____________{(2，－2)}46{()|}38{(22)}yxABxyyx＝，＝【，－解析】2.已知直线l1：x＋ay＋6＝0和l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，则l1∥l2的充要条件是a＝__________.－1(2)326(2)1.aaaaa【解析】根据题意得，解得＝－3.若直线y＝kx＋k＋2与y＝－2x＋4的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是___________2(2)3－，y224246()(2)2220222.46302kxkyxkkkkkkkkkk解方程组，得交点，－．因为交点在第一象限内，所以，即－【解析】4.已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若A、B的坐标分别是A(－4,2)、B(3,1)，求点C的坐标，并判断△ABC的形状．222(4,2)2()4420422(42)22214133100.21433100,2,4y2(34)(12)50AyxMxyxyxMyyxMBCBCyxxyxyCxABAC设－关于直线＝对称的点为，，则由，解得,即，－．由几何知识知，应在直线上．由两点式得直线的方程为,即＋－＝＋－＝解方程组得点的坐标为．因为＝＋＋】＝解析－，【222222222(24)(42)40(32)(14)1090.BCACBCABABCC＝＋＋－＝，＝－＋－＝，所以＋＝，即是直角三角形，且＝1231212135.2004752101010121225lxyaalxylxyllaPPPPlPlPlPlP已知三条直线：－＋＝，直线：－＋＋＝和直线：＋－＝，且与的距离是求的值；能否找到一点，使得点同时满足下列三个条件：①是第一象限的点；②点到的距离是点到的距离的；③点到的距离与到的距离之比是∶；若能，求点坐标；若不能，说明理由．212220012000012021||752102117||03.22()120(3)21|||3|13112265513112020.2612lxylladaaaPxyPPlllxycccccccxyxy由：－－＝，所以与的距离＝化简得：＋＝，因为，所以＝设点，，若点满足条件②，则点在与，平行的直线系：－＋＝，且－上，且＝，即＝或＝所以－＋＝或－＋【】＝解析00000000000000000000000|23|2|1|552|23||1|24032032013320()2124021112092240PxyxyxyxyxyxPxxxyyxyxxyxyy若点满足条件③，由点到直线的距离公式，有：＝即－＋＝＋－，所以－＋＝，或＋＝，由在第一象限，所以＋＝不可能，－＋由方程组：舍去，－＋＝－＋由得－＋＝0137()3791818P，所以，，即为同时满足三个条件的点．1212121212121212              “1.1”llkkllllllll＝两条直线平行的条件是：和是两条不重合的直线;在和的斜率都存在的前提下得到的．因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个前提都会导致结论的错误．①如果两条直线，的倾斜角为，,．两条直线平行②：推则＝论：1212121212121221     1.020llkkllkkllllklkl两条直线垂直的条件：设两条直线和的斜率分别为和，则有＝－这里的前提是，的斜两率都存在＝，且的斜率不存在或＝，且①条的直线垂直斜率②：不存在．2．点到直线的距离公式：设点P(x0，y0)，则距离公式点P到直线Ax＋By＋C＝0点P到直线x＝ad＝|x0－a|点P到直线y＝bd＝|y0－b|0022||AxByCdAB＝11122122200()00()||34AxByCAxByCCCCAxByCBxAyCCCCdABxy与直线＋＋＝平行的直线系方程为＋＋＝为参数且，与直线＋＋＝垂直的直线系方程为－＋＝为参数．．用公式＝求两平行线的距离时，要先将两个方程中、项系数化为相同．．解决对称问题的常用方法是：待定系数法、轨迹法．1．(2010·苏州调研卷)“直线ax＋2y＋1＝0和直线3x＋(a－1)y＋1＝0平行”的充要条件是“a＝______”．答案：－2选题感悟：“充要条件”是中学数学中极其重要的一个概念，可以灵活地与学科内或学科间的知识点相结合，因此始终是高考考查的热点．本题主要考查了两直线间的相互关系及充要条件的概念，解题的关键在于正确运用两直线平行的充要条件来解决关于参数a的方程即可．2．(2010·南通模拟)若直线ax－y＋1＝0与直线x－a2y－1＝0垂直，则a＝________.201011.1201.aaaaaa当＝时，两直线显然垂直．当时，由【＝－，得＝－所以的值是】或－解析答案：0或－1