【人教版】2014届高三数学(理)第一轮夯实基础《独立重复试验与二项分布》

10．12独立重复试验与二项分布考纲点击1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念．2．理解n次独立重复试验的模型及二项分布.3.能解决一些简单的实际问题．考点梳理1.条件概率及其性质条件概率的定义条件概率的性质设A、B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝①______为在②____发生的条件下，③______发生的条件概率(1)0≤P(B|A)≤1(2)若B、C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝④______________2．事件的相互独立性(1)设A、B为两个事件，如果P(AB)＝⑤____________，则称事件A与事件B相互独立．(2)如果事件A与B相互独立，那么⑥______与⑦______，⑧______与⑨______，⑩______与⑪______也都相互独立．3．独立重复试验在⑫______条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．4．二项分布在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝⑬________(k＝0,1,2，…，n)．此时称随机变量X服从二项分布，记作⑭________，并称⑮________为成功概率．答案：①PABPA②事件A③事件B④P(B|A)＋P(C|A)⑤P(A)P(B)⑥A⑦B⑧A⑨B⑩A⑪B⑫相同⑬Cknpk(1－p)n－k⑭X～B(n，p)⑮p考点自测1.一射手对同一目标独立地进行四次射击，已知至少命中一次的概率为8081，则此射手的命中率为()A.13B.23C.14D.25解析：设此射手射击目标命中的概率为P，由已知1－(1－P)4＝8081，解得P＝23.答案：B2．小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰有1次通过的概率是()A.49B.29C.427D.227解析：所求概率P＝C13·131·1－133－1＝49.答案：A3．设10件产品中有4件不合格，从中任意取两件，试求在所取得的产品中发现有一件是不合格品，另一件也是不合格品的概率是()A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5解析：记事件A为“有一件是不合格品”，事件B为“另一件也是不合格品”，则P(A)＝C14C16＋C24C210＝23，P(AB)＝C24C210＝215，∴P(B|A)＝PABPA＝0.2.答案：A4．在4次独立重复试验中事件A出现的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为6581，则事件A在1次试验中出现的概率为__________．解析：设事件A在1次试验中发生的概率为P，则1－(1－P)4＝6581，(1－P)4＝1681＝234.∴1－P＝23，P＝13.答案：135．有1道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是12，乙能解决的概率为13，两人试图独立地在半小时内解决它．则两人都未解决的概率为__________，问题得到解决的概率为__________．解析：设“半小时内甲独立解决该问题”为事件A，“半小时内乙独立解决该问题”为事件B，那么两人都未解决该问题就是事件AB，∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝[1－P(A)][1－P(B)]＝1－12×1－13＝13.问题得到解决是问题没得到解决的对立事件，∴1－P(AB)＝1－13＝23.答案：1323疑点清源1.独立重复试验的实际原型是有放回的抽样检验问题，但在实际应用中，从大批产品抽取少量样品的不放回检验，可以近似地看作此类型，因此独立重复试验在实际问题中应用广泛．2．独立重复试验事件A恰有k次发生的概率一般地，事件A在n次试验中发生k次，共有Ckn种情形，由试验的独立性知A在k次试验中发生，而在其余n－k次试验中不发生的概率都是pk(1－p)n－k，所以由概率乘法公式知，如果在一次试验中事件A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)．在运用该公式时要弄清公式中的n、p、k的意义．3．独立重复试验中某事件发生k次的概率Pn(k)＝Cknpk(1－p)n－k正好是二项式[(1－p)＋p]n的展开式的第k＋1项．4．解决概率问题要注意“三个步骤，一个结合”：(1)求概率的步骤是：第一步，确定事件性质古典概型事件互斥事件独立事件n次独立重复试验，即所给的问题归结为四类事件中的某一种．第二步，判断事件的运算和事件积事件，即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件．第三步，运用公式古典概型：PA＝mn，互斥事件：PA∪B＝PA＋PB，PAB＝0独立事件：PAB＝PA·PBn次独立重复试验：pnk＝Cknpk1－pn－k求得．(2)概率问题常常与排列组合问题相结合.题型探究题型一条件概率问题例11号箱中有两个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：从2号箱取出红球的概率是多少？解析：记事件A：最后从2号箱中取出的是红球；事件B：从1号箱中取出的是红球．则P(B)＝42＋4＝23，P(B)＝1－P(B)＝13，P(A|B)＝3＋18＋1＝49，P(A|B)＝38＋1＝13，从而P(A)＝P(AB)＋P(AB)＝P(A|B)P(B)＋P(A|B)P(B)＝49×23＋13×13＝1127.点评：条件概率的求法：(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝PABPA.这是通用的求条件概率的方法．(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝nABnA.变式探究1抛掷一枚骰子，观察出现的点数，A＝{出现的点数是奇数}＝{1,3,5}，B＝{出现的点数不超过3}＝{1,2,3}．若已知出现的点数不超过3，则出现的点数是奇数的概率为()A.23B.13C.12D.34解析：由题意知P(B)＝36＝12，P(AB)＝26＝13，故在出现的点数不超过3条件下，出现的点数是奇数的概率为P(A|B)＝PABPB＝23.答案：A题型二相互独立事件的概率问题例2.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p，且乙投球两次均未命中的概率为116.(1)求乙投球的命中率p；(2)求甲投球两次，至少命中1次的概率；(3)若甲、乙两人各投球两次，求两人共命中两次的概率．解析：(1)方法一：设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B.由题意得(1－P(B))2＝(1－p)2＝116，解得p＝34或p＝54(舍去)，所以乙投球的命中率为34.方法二：设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B.由题意得：P(B)P(B)＝116，于是P(B)＝14或P(B)＝－14(舍去)，故p＝1－P(B)＝34.所以乙投球的命中率为34.(2)方法一：由题设和(1)知，P(A)＝12，P(A)＝12.故甲投球两次至少命中1次的概率为1－P(A·A)＝34.方法二：由题设和(1)知，P(A)＝12，P(A)＝12.故甲投球两次至少命中1次的概率为C12P(A)P(A)＋P(A)P(A)＝34.(3)由题设和(1)知，P(A)＝12，P(A)＝12，P(B)＝34，P(B)＝14.甲、乙两人各投球两次，共命中两次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中两次，乙两次不中；甲两次均不中，乙中两次．概率分别为：C12P(A)P(A)C12P(B)P(B)＝316，P(A·A)P(B·B)＝164，P(A·A)P(B·B)＝964.所以甲、乙两人各投球两次，共命中两次的概率为316＋164＋964＝1132.点评：(1)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．变式探究2甲射击命中目标的概率是12，乙命中目标的概率是13，丙命中目标的概率是14，现在三人同时射击目标，计算：(1)三人都击中目标的概率；(2)目标被击中的概率．解析：(1)三人都击中目标就是事件ABC发生，根据相互独立事件概率乘法公式，得到P(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)＝12×13×14＝124；(2)目标被击中的事件可表示为A＋B＋C发生，即击中目标表示事件A、B、C中至少一个发生，直接来算太复杂，于是从另一个反面来思考，目标被击中的事件的对立事件是目标未被击中，即三人都未击中目标，由于三人射击的结果相互独立，则A，B，C也相互独立，根据公式可得P(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)＝[1－P(A)][1－P(B)]·[1－P(C)]．＝(1－12)(1－13)(1－14)＝14.因此，目标被击中的概率是P(A∪B∪C)＝1－P(ABC)＝1－14＝34.题型三独立重复试验与二项分布例3.一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13.(1)设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列；(2)设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y的分布列；(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．解析：(1)将通过每个交通岗看作一次试验，则遇到红灯的概率为13，且每次试验结果是相互独立的，故X～B(6，13)，以此为基础求X的分布列．由X～B(6，13)，P(X＝k)＝Ck613k·236－k，k＝0,1,2,3,4,5,6.所以X的分布列为：X0123PC06236C1613235C26132234C36133233X456PC46134232C5613523C66136(2)由于Y表示这名学生在首次停车前经过的路口数，显然Y是随机变量，其取值为0,1,2,3,4,5,6.其中：{Y＝k}(k＝0,1,2,3,4,5)表示前k个路口没有遇上红灯，但在第k＋1个路口遇上红灯，故各概率应按独立事件同时发生计算．P(Y＝k)＝23k·13(k＝0,1,2,3,4,5)，而{Y＝6}表示一路没有遇上红灯，故其概率为P(Y＝6)＝236，因此Y的分布列为：(3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的事件为(X≥1)＝{X＝1或X＝2或…或X＝6}，所以其概率为：P(X≥1)＝k＝16P(X＝k)＝1－P(X＝0)＝1－236＝665729.点评：(1)独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验．在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)二项分布满足的条件：①每次试验中，事件发生的概率是相同的；②各次试验中的事件是相互独立的．③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．④随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数．变式探究3某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5(相互独立)．求：(1)至少3人同时上网的概率；(2)至少几人同时上网的概率小于0.3?解析：(1)至少3人同时上网的概率等于1减去至多2人同时上网的概率，即1－C06(0.5)6－C16(0.5)6－C26(0.5)6＝1－1＋6＋1564＝2132(2)由(1)知至少3人同时上网的概率大于0.3，至少4人同时上网的概率为C46(0.5)6＋C56(0.5)6＋C66(0.5)6＝1132＞0.3至少5人同时上网的概率为(C56＋C66)(0.5)6＝764＜0.3因此，至少5人同时上网的概率小于0.3.答：(1)至少3人同时上网的概率为2132；(2)至少