【人教版】2014届高三数学(理)第一轮夯实基础《离散型随机变量的均值与方差、正态分布》

10．13离散型随机变量的均值与方差、正态分布考纲点击1.了解离散型随机变量和数学期望、方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求它的期望、方差．离散型随机变量的期望与方差在现实生活中有着重要意义，因此求期望、方差是应用题的命题方向．2．了解正态分布在实际生活中的意义和作用.3.了解正态分布的定义，正态曲线的特征．会求服从正态分布的随机变量的概率．4．记住正态总体在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)和(μ－3σ，μ＋3σ)上取值的概率，并能在一些简单的实际问题中应用该原则.考点梳理一、离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn1.均值：称E(X)＝①__________________________为随机变量X的均值或②____，它反映了离散型随机变量取值的③____.2．方差：称D(X)＝④________________为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的⑤______________，其⑥____________为随机变量X的标准差．二、均值与方差的性质1．E(aX＋b)＝⑦__________.2．D(aX＋b)＝⑧__________.(a，b为常数)三、两点分布与二项分布的均值、方差1．若X服从两点分布，则E(X)＝⑨____，D(X)＝⑩______.2．若X～B(n，p)，则E(X)＝⑪______，D(X)＝⑫________.四、正态曲线及性质1．正态曲线的定义：函数f(x)＝⑬____________________，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数，我们称f(x)的图像(如图)为正态分布密度曲线，简称正态曲线．2．正态曲线的性质：(1)曲线位于x轴⑭______，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线⑮________对称；(3)曲线在⑯______处达到峰值1σ2π；(4)曲线与x轴之间的面积为⑰________；(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着⑱______的变化而沿x轴平移，如图甲所示；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ⑲______，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ⑳______，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．五、正态分布1．正态分布的定义及表示：若对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝○21________________，则称X的分布为正态分布，记作○22______________.2．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值：(1)P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝○23________；(2)P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝○24________；(3)P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝○25________.答案：①x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn②数学期望③平均水平④∑ni＝1(xi－E(X))2pi⑤平均偏离程度⑥算术平方根DX⑦aE(X)＋b⑧a2D(X)⑨p⑩p(1－p)⑪np⑫np(1－p)⑬1σ2πe－x－μ22σ2⑭上方⑮x＝μ⑯x＝μ⑰1⑱μ⑲越小⑳越大○21abf(x)dx○22N(μ，σ2)○230.6826○240.9544○250.9974考点自测1.已知离散型随机变量ξ的分布列为：ξ1234P14131614则D(ξ)等于()A.2912B.131144C.179144D.1712解析：由于E(ξ)＝1×14＋2×13＋3×16＋4×14＝2912，所以D(ξ)＝1－29122×14＋2－29122×13＋3－29122×16＋4－29122×14＝179144.答案：C2．已知X的分布列为X－101P121316，设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为()A.73B．4C．－1D．1解析：E(X)＝－12＋16＝－13，E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－23＋3＝73.答案：A3．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图像，且f(x)＝18πe－x－1028，则这个正态总体的平均数与标准差分别是()A．10与8B．10与2C．8与10D．2与10解析：由18πe－x－1028＝12π·σ·e－x－μ22σ2，可知σ＝2，μ＝10.(平均数为μ，标准差为σ)．答案：B4．设随机变量X服从正态分布N(2,9)，若P(X＞c＋2)＝P(X＜c－4)，则c＝()A．1B．2C．3D．4解析：∵μ＝2，由正态分布的定义知其函数图像关于x＝2对称，于是c＋2＋c－42＝2，∴c＝3.答案：C5．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝112，则随机变量X的数学期望EX＝__________.解析：∵P(X＝0)＝13×(1－p)2＝112，∴p＝12.则P(X＝1)＝23×12×12＋13×12×12×2＝412＝13，P(X＝2)＝23×12×12×2＋13×12×12＝512，P(X＝3)＝23×12×12＝16.则E(X)＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝53.答案：53疑点清源1.离散型随机变量的均值(1)若离散型随机变量X的概率分布为：Xx1x2…xn…Pp1p2…pn…则称EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…为X的均值(或数学期望)．(2)离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平．(3)均值的性质：E(C)＝C，E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a，b，C为常数)．(4)对离散型随机变量的均值作如下几点说明：①均值是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均．②EX是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量X是可变的，可取不同值，而EX是不变的，它描述X取值的平均状态．③对于E(aX＋b)＝aE(X)＋b.说明随机变量X的线性函数Y＝aX＋b的均值等于随机变量X均值的线性函数．此式可有如下几种特殊形式：当b＝0时，E(aX)＝aE(X)，此式表明常量与随机变量乘积的均值，等于这个常量与随机变量的均值的乘积．当a＝1时，E(X＋b)＝E(X)＋b，此式表明随机变量与常量和的均值，等于随机变量的均值与这个常量的和．当a＝0时，E(b)＝b.此式表明常量的均值等于这个常量．2．离散型随机变量的方差(1)若离散型随机变量X所有可能的取值是x1，x2，…，xn，…且这些值的概率分别是p1，p2，…，pn，…则称D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋[x3－E(X)]2p3＋…＋[xn－E(X)]2pn＋…为X的方差．(2)随机变量X的方差反映了X取值的稳定性．(3)方差的性质：①设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X)；②D(X)＝E(X2)－[E(X)]2.(4)对离散型随机变量的方差做如下几点说明：①D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度．D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散．反之，D(X)越小，X的取值越集中．统计中常用DX来描述X的分散程度.DX叫标准差，记作σX.②D(X)与E(X)一样也是一个实数，由X的分布列唯一确定．③对于D(aX＋b)＝a2D(X)，在记忆和使用此结论时，请注意D(aX＋b)≠aD(X)＋b，D(aX＋b)≠aD(X)．④若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．3．标准正态分布函数表由于标准正态分布应用十分广泛，已制成专门的标准正态函数表，供人们查阅，在标准正态分布表中，相应于每一个x0的函数值Φ(x0)是指总体取小于x0的值的概率(函数Φ(x0)实际上是正态总体N(0,1)的累积分布函数)，即Φ(x0)＝P(x＜x0)．4．几个重要公式(1)Φ(－x)＝1－Φ(x)；(2)P(a＜X＜b)＝Φ(b)－Φ(a)；(3)P(X≥x0)＝1－P(X＜x0)；(4)若X～N(μ、σ2)，则Y＝X－μσ～N(0,1)；(5)若X～N(μ，σ2)，则P(a＜X＜b)＝Φ(b－μσ)－Φ(a－μσ)，其中Φ(b－μσ)＝F(b)＝P(X＜b).题型探究题型一求离散型随机变量的均值例1.某工厂2012年第三季度生产的A、B、C、D四种型号的产品产量用条形图表示如图，现用分层抽样的方法从中选取50件样品参加四月份的一个展销会：(1)问A、B、C、D型号的产品各抽取多少件？(2)从50件样品中随机地抽取2件，求这2件产品恰好是不同型号产品的概率；(3)从A、C型号的样品中随机地抽取3件，用ξ表示抽取A种型号的产品件数，求ξ的分布列和数学期望．解析：(1)从条形图上可知，共生产产品有50＋100＋150＋200＝500(件)，样品比为50500＝110.所以A、B、C、D四种型号的产品分别取110×100＝10，110×200＝20，110×50＝5，110×150＝15，即样本中应抽取A产品10件，B产品20件，C产品5件，D产品15件．(2)从50件产品中任取2件共有C250＝1225种方法，2件恰为同一产品的方法数为C210＋C220＋C25＋C215＝350种，所以2件恰好为不同型号的产品的概率为1－3501225＝57.(3)P(ξ＝0)＝C35C315＝291；P(ξ＝1)＝C110·C25C315＝2091；P(ξ＝2)＝C210·C15C315＝4591；P(ξ＝3)＝C310C315＝2491.所以ξ的分布列为E(ξ)＝2091＋2×4591＋3×2491＝2.ξ0123P291209145912491点评：求离散型随机变量均值的方法步骤：(1)理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；(2)求ξ取每个值的概率；(3)写出ξ的分布列；(4)由均值的定义求E(ξ)．变式探究1某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A．100B．200C．300D．400解析：记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B(1000,0.1)，所以E(ξ)＝1000×0.1＝100，而X＝2ξ，故E(X)＝E(2ξ)＝2E(ξ)＝200.答案：B题型二求离散型随机变量的方差例2.A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析，X1和X2的分布列分别为X15%10%P0.80.2X22%8%12%P0.20.50.3(1)在A、B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)；(2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目，(100－x)万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和，求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值．(注：D(aX＋b)＝a2D(X))解析：(1)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为：Y1510P0.80.2Y22812P0.20.50.3E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，D(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4，E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，D(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12.(2)f(x)＝Dx100Y1＋D100－x100Y2＝x1002D(Y1)＋100－x1002D(Y2)＝41002[x2＋3(100－x)2]＝41002(4x2－600x＋3×1002)．当x＝6002×4＝75时，f(x)＝3为最小值．点评：(1)求离散型随机变量的方差的步骤：①求E(X)；②代入方差公式求D(X)．(2)呈线性关系的两变量的均值与方差可