1.3.3函数的最值与导数

3.3.3函数的最大（小）值与导数2aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)0f'(x)0一、函数单调性与导数关系如果在某个区间内恒有,则为常数函数.0)(xf)(xf设函数y=f(x)在某个区间（a,b)内可导，f(x)在这个区间内单调递增f(x)在这个区间内单调递减复习3二、函数的极值定义设函数f(x)在点x0附近有定义，•如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)；•如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)；oxyoxy0x0x◆函数的极大值与极小值统称为极值.使函数取得极值的点x0称为极值点oax0bxyxx0左侧x0x0右侧f(x)f(x)oax0bxyxx0左侧x0x0右侧f(x)f(x)f(x)0f(x)=0f(x)0极大值f(x)0f(x)=0极小值f(x)0左正右负为极大，左负右正为极小极大值与极小值的概念：（2）如何求函数的极值定义域—求导—求极值点—列表—得极值1．函数的最大值f(x0)＝M一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有________；②存在x0∈I，使得__________．那么称M是函数y＝f(x)的最大值．f(x)≤M2．函数的最小值f(x0)＝M一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有________；②存在x0∈I，使得__________．那么称M是函数y＝f(x)的最小值．f(x)≥M三、函数的最大（小）值定义6那么，函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们与函数极值关系如何？新课引入极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小。在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题。7观察区间[a.b]上函数y=f(x)的图像,你能找出它的极大值、极小值吗？135(),(),()fxfxfx观察图象，我们发现，是函数y=f(x)的极小值，是函数y=f(x)的极大值。246(),(),()fxfxfx讲授新课探究问题1：闭区间上的最值问题x1oxyx2x3x4x5x6ba8探究你能找出函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值、最小值吗？f(x)max=f(a),f(x)min=f(x3)x1oxyx2x3x4x5x6baoxyaby=f(x)y=f(x)oxyaboxyaby=f(x)oxyaby=f(x)探究问题2：开区间上的最值问题结论在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值。若有最值，一定在极值点处取得。如图，观察（a，b）上的函数y=f(x)的图像，它们在（a，b）上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值在什么位置取到？讲授新课Oxyabx3x2x1Oxyabx1x2x3Oxyabx2x1思考1观察下列图形,找出函数的最值并总结规律图1图3图2连续函数在[a,b]上必有最值；并且在极值点或端点处取到.观察右边一个定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象：发现图中____________是极小值，_________是极大值，在区间上的函数的最大值是______，最小值是_______。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3)怎样求函数y=f(x)在闭区间[a,b]内的最大值和最小值？xX2oaX3bx1yy=f(x)思考2追踪练习(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处)比较,其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值.求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤：(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)；归纳小结13“最值”与“极值”的区别和联系（1）最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．（2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；（3）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．（4）若连续函数在区间（a,b)内只有一个极值，则极大值就是最大值，极小值就是最小值。14x0（0,2）2（2，3）30-+41极小值-4/3因此，函数f(x)在区间[0,3]内的最大值是4，最小值是-4/3)(xf)(xf31()4033fxxx例求函数-4在，上的最大值与最小值.2()4(2)(2)fxxxx解：因为-()0=fxxx令得=2或-2(),()xfxfx则在0,3上，当变化时，的变化情况例题讲解课本例5求函数f(x)=2x3-3x2-12x+5在区间[-2,1]上的最值解：又f(-2)=1,f(1)=-8所以函数在区间[-2,1]上最大值为12,最小值为-8练习1f'(x)=6x2-6x-12=6（x2-x-2）=6(x-2)(x+1)，令f'(x)=0，得x=-1或x=2（舍）所以当x=-1时，函数取得极大值，且极大值f(-1)=12；x(－2,-1)-1(-1,1)f′(x)＋0－f(x)极大值练习2、求函数f(x)=x3-3x2+6x-2在区间[-1,1]上的最值。解：=3x2-6x+6=3(x2-2x+2))(xf因为在[-1,1]内恒大于0,)(xf所以f(x)在[-1,1]上是增函数，故当x=-1时，f(x)取得最小值-12；当x=1时，f(x)取得最大值2。例2、已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b（），问是否存在实数a、b，使f(x)在[－1,2]上取得最大值3，最小值－29？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．[分析]函数最值的逆向问题，通常是已知函数的最值求函数关系式中字母的值的问题．解决时应利用函数的极值与最值相比较，综合运用求极值、最值的方法确定系数的方程(组)，解之即可．0a[解]显然a≠0.f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)．令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝4(舍去)．(1)当a0时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x[－1,0)0(0,2]f′(x)＋0－f(x)最大值所以当x＝0时，f(x)取得最大值，所以f(0)＝b＝3.又f(2)＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3，f(－1)f(2)．所以当x＝2时，f(x)取得最小值，即－16a＋3＝－29，a＝2.(2)当a0时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x[－1,0)0(0,2]f′(x)－0＋f(x)最小值跟踪训练3设函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)c2成立，求c的取值范围.解∵f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2).∴当x∈(0,1)时，f′(x)0；当x∈(1,2)时，f′(x)0；当x∈(2,3)时，f′(x)0.∴当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝5＋8c.又f(3)＝9＋8cf(1)，∴x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.∵对任意的x∈[0,3]，有f(x)c2恒成立，∴9＋8cc2，即c－1或c9.∴c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞).21知识小结：函数的最大与最小值⑴设y=f(x)是定义在区间[a,b]上的函数,y=f(x)在(a,b)内有导数,求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大最小值,可分两步进行:①求y=f(x)在区间(a,b)内的极值;②将y=f(x)在各极值点的极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值。⑵若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),则f(a)为最小(大)值,f(b)为最大(小)值。22f（x）=X（0≤x2）0（x=2）20※注意1、给定函数的区间必须是闭区间。f(x)在开区间上虽然连续，但不能保证有最大值和最小值。2、在闭区间上的每一点都必须连续，即在闭区间上有间断点也不能保证f(x)有最大值和最小值。