1.3.3函数的极值与最值的习题2

函数的极值与最值的习题课4.设a为实数，已知函数f(x)=x2（x-a)（1）f′(1)=3时，求a及f(x)在（1，f(1)）处的切线方程。（2）求y=f(x)在［0，2］上的最大值.3．(2011年广州一模）函数在区间（1，+∞）上（）A．是减函数B．是增函数C．有极小值D．有极大值lnxyxC•4.若函数在x=1处取极值，•则a=.•解：由•解得a=3.321xafxx2221.1xxxafxx3104af，求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：注意1)函数的最值概念是整体性的；2)函数的最大值（最小值）唯一；3)函数的最大值大于等于最小值；4)函数的最值可在端点上取.知识小结：（1）f(x)在(a,b)内导函数为零的点，并计算出其函数值；（2）将f(x)的各导数值为零的点的函数值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．利用导数转化极值与最值条件3.设a为实常数，已知函数f(x)=(x2+ax+a)·e-x有极小值0，求a的值.解：f′(x)=(2x+a)e-x+(x2+ax+a)·(-e-x)=-e-x［x2+(a-2)x］.令f′(x)=0，则x2+(a-2)x=0，所以x=0或x=2-a.(1)当a=2时，f′(x)=-e-x·x2≤0，所以f(x)无极值.(2)当a＜2时，在(-∞，0)上，f′(x)＜0;在(0，2-a)上，f′(x)＞0;在(2-a，+∞)上，f′(x)＜0.所以［f(x)］极小值=f(0)=a.由已知，a=0.(3)当a＞2时，在(-∞，2-a)上，f′(x)＜0;在(2-a，0)上，f′(x)＞0;在(0，+∞)上，f′(x)＜0.所以［f(x)］极小值=f(2-a).由已知，f(2-a)=0.所以(2-a)2+a(2-a)+a=0，解得a=4.综上分析，a=0或a=4.点评：函数有极值的必要条件是：f′(x)=0，由此可转化得到相应的等式或方程，再进一步转化为所需要的条件.需要注意的是在此条件下得到的结论要检验一下是否为极值.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0.若x=时，y=f(x)有极值.(1)求a,b,c的值；(2)求y=f(x)在［-3，1］上的最大值和最小值.解：(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,得f′(x)=3x2+2ax+b.当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0;①当x=时，y=f(x)有极值，则f′()=0,即4a+3b+4=0.②232323由①②解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1,所以f(1)=3×1+1=4.所以1+a+b+c=4,所以c=5.(2)由(1)可得f(x)=x3+2x2-4x+5,所以f′(x)=3x2+4x-4.令f′(x)=0,得x=-2,x=.当x变化时，y,y′的变化情况如下表：23所以y=f(x)在［-3，1］上的最大值为13，最小值为.x-3(-3,-2)-2(-2，23)(，1)1y′+0-0+y8↗13↘↗4232395279527