2018联考数学真题答案及详细解析

2018年全国硕士研究生入学统一考试管理类专业学位联考数学试题一、问题求解:第1～15小题,每小题3分,共45分.下列每题给出的A、B、C、D、E五个选项中,只有一个选项符合试题要求.请在答题卡．．．上将所选项的字母涂黑.1.学校竞赛设一等奖、二等奖和三等奖，比例为1:3:8，获奖率为30%，已知10人获得一等奖，则参加竞赛的人数为（）A.300B.400C.500D.550E.600解析：根据题干可得，获奖人数一共为10+30+80=120人又∵获奖率为30%∴总人数=120÷30%=400人∴选B2.为了解某公司员工的年龄结构，按男、女人数的比例进行了随机抽样，结果如下：男员工年龄（岁）232628303234363841女员工年龄（岁）232527272931根据表中数据估计，该公司男员工的平均年龄与全体员工的平均年龄分别是（单位：岁）()A.32，30B.32，29.5C.32，27D.30，27E.29.5，27解析：十大公式之平均数的定义根据题意可得𝑥̅男=23+26+28+30+32+34+36+38+419=2889=32𝑥̅全=288+23+25+27+27+29+3115=45015=30∴选A3.某单位采取分段收费的方式收取网络流量（单位：GB）费用：每月流量20（含）以内免费，流量20到30（含）的每GB收费1元.流量30到40（含）的每GB收费3元，流量40以上的每GB收费5元，小王这个月用了45GB的流量，则他应该交费（）A.45元B.65元C.75元D.85元E.135元解析：根据题干可得，在20到30（含）处共收10元，在30到40（含）处共收30元，40以上共收25元即应该交费25+30+10=65（元）∴选B4.如图，圆𝑂是三角形𝐴𝐵𝐶的内切圆，若三角形𝐴𝐵𝐶的面积与周长的大小之比为1:2，则圆𝑂的面积为（）A.πB.2πC.3πD.4πE.5π解析：十大公式之面积公式连接OA,OB,OC令三角形AOB，AOC，BOC分别为𝑆1，𝑆2，𝑆3则有，𝑆1+𝑆2+𝑆3=12∙𝑐∙𝑟=SOABCOABC∴𝑟=2𝑠𝑐=1∴S=π∴选A5.设实数𝑎,𝑏满足|𝑎−𝑏|=2,|𝑎3−𝑏3|=26，则𝑎2+𝑏2=（）A.30B.22C.15D.13E.10解析：由题干可得𝑎=3，𝑏=1∴𝑎2+𝑏2=10∴选E6.有96位顾客至少购买了甲、乙、丙三种商品中的一种，经调查：同时购买了甲、乙两种商品的有8位，同时购买了甲、丙两种商品的有12位，同时购买了乙、丙两种商品的有6位，同时购买了三种商品的有2位，则仅购买一种商品的顾客有（）A.70位B.72位C.74位D.76位E.82位解析：冲刺课第一节，反复强调文氏图由题干内容可得文氏图∴96−6−10−4−2=74∴选C甲乙丙621047.如图，四边形𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1是平行四边形，𝐴2,𝐵2,𝐶2,𝐷2分别是𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1四边的中点，𝐴3,𝐵3,𝐶3,𝐷3分别是四边形𝐴2𝐵2𝐶2𝐷2四边的中点，依次下去，得到四边形序列𝐴𝑛𝐵𝑛𝐶𝑛𝐷𝑛(𝑛=1,2,3,⋯).设𝐴𝑛𝐵𝑛𝐶𝑛𝐷𝑛是面积为𝑆𝑛，且𝑆1=12，则𝑆1+𝑆2+𝑆3+⋯=（）A.16B.20C.24D.28E.30解析：看成正方形𝑎1=12,𝑞=12则𝑆=𝑎11−𝑞=24（𝑆𝑛=𝑎1(1−𝑞𝑛)1−𝑞,𝑞=12时，𝑞𝑛=0）∴选C8.将6张不同的卡片2张一组分别装入甲、乙、丙3个袋中，若指定的两张卡片要在同一组，则不同的装法有（）A.12种B.18种C.24种D.30种E.36种解析：押题卷二第12题原题指定卡片可以在甲、乙、丙任意一组，最后x3剩余4张在2个袋中全排列1，2在A3，4在B1，3在A2，4在B1，4在A2，3在B2，3在A1，4在B2，4在A2，3在B𝐴3𝐷3𝐵3𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1𝐴2𝐵2𝐶2𝐷2𝐶33，4在A1，2在B3×6=18∴选B9.甲、乙两人进行围棋比赛，约定先胜2盘者赢得比赛，已知每盘棋甲获胜的概率是0.6，乙获胜的概率是0.4，若乙在第一盘获胜，则甲赢得比赛的概率为（）A.0.144B.0.288C.0.36D.0.4E.0.6解析：0.6×0.6=0.36∴选C10.已知圆𝐶:𝑥2+(𝑦−𝑎)2=𝑏.若圆𝐶在点(1，2)处的切线与𝑦轴的交点为(0，3)，则𝑎𝑏=（）A.-2B.-1C.0D.1E.2解析：由题干可知切线的斜率为𝑘切=3−20−1=−1∴𝑘=1(0,𝑎)⟹(1,2)𝑘=1=2−𝑎1−0∴𝑎=1∴𝑥2+(𝑦−1)2=𝑏将(1，2)代入可得：1+1=𝑏=2∴𝑎𝑏=2∴选E11.羽毛球有4名男运动员和3名女运动员，从中选出两对参加混双比赛，则不同的选派方式有（）A.9种B.18种C.24种D.36种E.72种解析：由题干可知4男3女𝐶42𝐶32×2=4×32×3×2=36（4个男的出2个，3个女的出2个，互换）∴选D12.从标号为1到10的10张卡片中随机抽取2张，它们的标号之和能被5整除的概率为（）A.15B.19C.29D.215E.745解析：“M-W”模型由题意可得M=1+4，1+9，2+3，2+8，3+7，4+6，5+10，6+9，7+8W=𝐶102=10×92=45∴𝑃=945=15∴选A13.某单位为检查3个部门的工作，由这3个部门的主任和外聘的3名人员组成检查组，分2人一组检查工作，每组有1名外聘成员，规定本部门主任不能检查本部门，则不同的安排方式有（）A.6种B.8种C.12种D.18种E.36种解析：全排列错排问题主任有两种，外聘人员𝐴33∴2𝐴33=12∴选C14.如图，圆柱体的底面半径为2，高为3，垂直于底面的平面截圆柱体所得截面为矩形𝐴𝐵𝐶𝐷.若弦𝐴𝐵所对的圆心角是𝜋3，则截掉部分（较小部分）的体积为（）A.π−3B.2π−6C.π−3√32D.2π−3√3E.π−√3解析：由题意可得𝑆=4𝜋6−12∙2∙2∙√32=2𝜋3−√3∴选D15.函数𝑓(𝑥)=𝑚𝑎𝑥{𝑥2,−𝑥2+8}的最小值为（）A.8B.7C.6D.5E.4解析：图像法由图像可知在实线处取最小值，联立可得最小值为4∴选EABCD二、条件充分性判断:第16～25小题,每小题3分,共30分.要求判断每题给出的条件⑴和条件⑵能否充分支持题干所陈述的结论.A、B、C、D、E五个选项为判断结果,请选择一项符合试题要求的判断,在答题卡上将所选项的子母涂黑.（A）条件（1）充分,但条件（2）不充分.（B）条件（2）充分,但条件（1）不充分.（C）条件（1）和条件（2）单独都不充分,但条件（1）和条件（2）联合起来充分.（D）条件（1）充分,条件（2）也充分.（E）条件（1）和（2）单独都不充分,条件（1）和条件（2）联合起来也不充分.16.设𝑥,𝑦为实数，则|𝑥+𝑦|≤2.（1）𝑥2+𝑦2≤2（2）𝑥𝑦≤1解析：押题卷一第22题原题图像法|𝑥+𝑦|≤2⟹−2≤𝑥+𝑦≤2对于条件（1）通过点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离为√2，刚好满足|𝑥+𝑦|≤2∴成立对于条件（2），为反比例函数，明显不成立∴选A17.设{𝑎𝑛}为等差数列.则能确定𝑎1+𝑎2+⋯+𝑎9的值（1）已知𝑎1的值（2）已知𝑎5的值𝑥2+𝑦2≤2−2≤𝑥+𝑦≤2√2解析：根据题干可得𝑆9=9(𝑎1+𝑎9)2=9𝑎5∴条件（1）不成立条件（2）成立∴此题选B18.设𝑚,𝑛是正整数.则能确定𝑚+𝑛的值.（1）1𝑚+3𝑛=1（2）1𝑚+2𝑛=1解析：对于（1），𝑚=2,𝑛=6、𝑚=4,𝑛=4𝑚+𝑛=8成立对于（2），𝑚=2,𝑛=4、𝑚=3,𝑛=3𝑚+𝑛=6成立∴选D19.甲、乙、丙三人的年收入成等比数列.则能确定乙的年收入的最大值.（1）已知甲、丙两人的年收入之和（2）已知甲、丙两人的年收入之积解析：条件（1）甲+丙已知，乙2=甲∙丙甲+丙≥2√甲∙丙∴甲∙丙≤(甲+丙2)2∴乙≤甲+丙2∴选A20.如图，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐸=𝐹𝐶，则三角形𝐴𝐸𝐷与四边形𝐵𝐶𝐹𝐸能拼接成一个直角三角形.（1）𝐸𝐵=2𝐹𝐶（2）𝐸𝐷=𝐸𝐹解析：过点E作DC的垂线，交DC于M；过点F作AB的垂线，交AB于N对于条件（1）𝐸𝐵=2𝐹𝐶可得AE=EN=NB∴M是三角形𝐸𝐷𝐹底边上的中点，所以可知三角形𝐸𝐷𝐹是等腰三角形∴三角形𝐴𝐸𝐷与四边形𝐵𝐶𝐹𝐸一定能拼接成一个直角三角形∴成立对于条件（2）同理，三角形𝐸𝐷𝐹为等腰三角形，也成立∴选D21.甲购买了若干件𝐴玩具，乙购买了若干件𝐵玩具给幼儿园，甲比乙少花了100元.则能确定甲购买的玩具件数.（1）甲与乙共购买了50件玩具（2）𝐴玩具的价格是𝐵玩具的2倍解析：4个未知数，至少3个条件，条件不够ADEBFCADEBFCMN甲：𝑥件，𝑚元乙：𝑦件，𝑛元{𝑥+𝑦=50𝑚=2𝑛𝑚𝑥+100=𝑛𝑦⟹不能求出𝑥∴选E22.已知点𝑃(𝑚,0),A(1,3),𝐵(2,1),点(𝑥,𝑦)在三角形𝑃𝐴𝐵上.则𝑥−𝑦的最小值与最大值分别为-2和1.（1）𝑚≤1（2）𝑚≥−2解析：∵点𝑃(𝑚,0),A(1,3),𝐵(2,1),点(𝑥,𝑦)在三角形𝑃𝐴𝐵上，所以𝑥−𝑦=𝑚,−2,1对于（1）𝑚≤1时，𝑚𝑎𝑥=1，𝑚𝑖𝑛不存在对于（2）𝑚≥−2时，𝑚𝑖𝑛=−2，𝑚𝑎𝑥不存在联立（1）与（2）可得：−2≤𝑚≤1时，𝑚𝑎𝑥=1，𝑚𝑖𝑛=−2成立∴联合选C23.如果甲公司的年终奖总额增加25%，乙公司的年终奖总额减少10%，两者相等.则能确定两公司的员工人数之比.（1）甲公司的人均年终奖与乙公司的相同（2）两公司的员工人数之比与两公司的年终奖总额之比相等解析：设甲员工为𝑥，年终奖为𝑚，乙员工为𝑦，年终奖为𝑛可得：(1+25%)𝑚=(1−10%)𝑛即1.25𝑚=0.9𝑛对于（1）𝑚𝑥=𝑛𝑦∴𝑥𝑦=𝑚𝑛=0.91.25成立对于（2）𝑥𝑦=𝑚𝑛=0.91.25成立∴选D24.设𝑎,𝑏为实数，则圆𝑥2+𝑦2=2𝑦与直线𝑥+𝑎𝑦=𝑏不相交.（1）|𝑎−𝑏|√1+𝑎2（2）|𝑎+𝑏|√1+𝑎2解析：此题考察点到直线的距离公式，石老师在不同场合反复强调过此公式是我们考试最难的公式，也是必考公式。直线与圆不相交，𝑑𝑟，𝑥2+𝑦2−2𝑦=0⟹𝑥2+(𝑦−1)2=1圆心为(0，1)，𝑟=1，𝑥+𝑎𝑦−𝑏=0∴d=|𝑎−𝑏|√1+𝑎21即|𝑎−𝑏|√1+𝑎2∴选A25.设函数𝑓(𝑥)=𝑥2+𝑎𝑥.则𝑓(𝑥)的最小值与𝑓(𝑓(𝑥))的最小值相等.（1）𝑎≥2（2）𝑎≤0解析：𝑓(𝑥)最小值为−𝑎24,𝑓(𝑓(𝑥))=(𝑥2+𝑎𝑥)2+𝑥2+𝑎𝑥令𝑥2+𝑎𝑥=𝑡,𝑓(𝑓(𝑥))=𝑡2+𝑎𝑡∴最小值也是−𝑎24∴和a的取值无关∴选D