九年级数学一元二次方程总复习资料

1九年级数学一元二次方程总复习资料一、知识扫描1.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.因此，由一元二次方程的定义可知，即一元二次方程必须满足满足以下三个条件：①方程的两边都是关于未知数的整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2。这样的方程才是一元二次方程，不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程。例如：535,53,02,3422222xxxxxxx都是一元二次方程。而03132xx不是一元二次方程，原因是x1是分式。2.任何关于x的一元二次方程的都可整理成)0(02acbxax的形式.这种形式叫做一元二次方程的一般形式，它的特征是方程左边是一个关于未知数的二次三项式，方程右边是零，其中2ax叫二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。注意b、c可以是任何实数，但a绝对不能为零，否则，就不是一元二次方程了。化一元二次方程为一般形式的手段是去分母、去括号、移项、合并同类项，整理后的方程最好按降幂排列，二次项系数化为正数。注意任何一个一元二次方程不可缺少二次项，担可缺少一次项和常数项，即b、c均可以为零。如方程013x023x02222、、xx都是一元二次方程。3．一元二次方程的解.使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值，叫一元二次方程的解，又叫一元二次方程的根。如x=1时，022xx成立，故x=1叫022xx的解。4.一元二次方程的解法解一元二次方程的基本思想是通过降次转化为一元一次方程，本节共介绍了四种解法。（1）直接开平方法：方程)0(2aax的解为ax，这种解一元二次方程的方法叫直接开平方法。它是利用了平方根的定义直接开平方，只要形式能化成a2的一元二次方程都可以采用直接开平方法来解。如5442xx，可化成5)2(2x，所以5-2x,52即x（2）因式分解法：首先把方程右边化为为零，左边通过因式分解化为两个一次因式乘积，由于两个一次因式相乘为零，第一个因式为零或第二个因式为零。这样通过降次将一元二次方程转化为一元一次方程。使用因式分解法解一元二次方程时千万别约去两边含未知数的等式，如解1)1(3xxx时，两边不能约去x-1,解得31x，这样就丢掉了x=1这个解，正确的做法是先移项，右边化为为零，正确解法如下，移项得：0)1()1(3xx，即0)13)(1(xx，那么x-1=0或3x-1=0,从而得到x-1或31x2（3）配方法：我们先解方程01422xx，在方程两边同除以2得02122xx，移项得2122xx，方程左边配方得22212112xx，即21)1(2x，利用直接开平方法得221x。通过这个例子我们发现配方法是通过配方将一元二次方程化成a2的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法。配方法是一种重要的数学思想，它以222)(2bababa为依据。其基本步骤是：①首先在方程两边同除以二次项系数a,b把二次项系数化为1②把常数项移到等式的右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④方程左边写成完全平方式，右边化简为常数；⑤利用直接开平方法解此方程用配方法解一元二次方程要注意，当二次项系数不为一时，一定要化为一，然后才能方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）公式法：利用公式042422acbaacbbx可以解所有的一元二次方程，用求根公式解一元二次方程的关键是先把方程化为)0(02acbxax的形式，当acb420时，方程的解为042422acbaacbbx，当acb420时，一元二次方程无解。用公式法解一元二次方程时一定要把一元二次方程化为)0(02acbxax的形式，准确确定a、b、c的值。acb42叫做一元二次方程)0(02acbxax的根的判别式，通常用“△”来表示，即△=，“△”读作“delta”.一元二次方程的根的情况与判别式△的关系：当0时，方程有两个不相等的实数根，当0时，方程有两个相等的实数根，当0时，方程没有实数根。5．关于一元二次方程的应用列方程解应用题的实质是把实际问题利用已知量与未知量之间的等量关系抽象成数学问题（方程问题），然后通过数学问题的解决，获得实际问题的答案。列一元二次方程解应用题的一般步骤可概括为审、设、列、解、答。①审：弄清题目中涉及到的已知量与未知量，找出反映已知量与未知量等量关系的句子②设：用x表示未知数，把其他量也用数学利用已知量与未知量之间的等量关系式子表示出来③列：利用已知量与未知量之间的等量关系列一元二次方程④解：解一元二次方程，注意要检验所得的解是否满足题意⑤答：写出答案。7.一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）：如果)0(02acbxax的两个根是,,21xx则acxxabxx2121,．二、典型例题讲解3例1、若方程32)1(1xxmm是关于x的一元二次方程，求m的值例2、关于x的一元二次方程01)1(22axxa的一个根是0，求a的值关于x的方程例3、求一元二次方程（1-2x）(x+4)=2x2+3的二次项系数、一次项系数、常数项的和。解下列方程（1）0144)3(2x（2）0)2(9)1(422xx（3）01422xx（4）1452xx用配方法说明，不论x取何值，代数式122xx的值总不小于8，并求出x取何值时这个代数式的值最小例4、已知的值求）yxyxxyyxyx,0(023222例5、关于x的方程（m－1）x2－2（m－3）x＋m＋2＝0有实数根，求m的取值范围。例6、商店里某件商品在两个月里连续降价两次，现在该商品每件的价格比两个月前下降了0019，问平均每月降价百分之几？4例7、如图，在宽为20m，长为32m的矩形田地中央，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，把矩形田地分成四个相同面积的小田块，作为良种试验田，要使每小块试验田的面积为135m2，道路的宽应为多少？例8、如图22.2.1，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长.例9、已知关于x的一元二次方程（a2－1）x2－2（a＋1）x＋1＝0的两实数根互为倒数，求a的值。例10、已知：关于x的方程3)0(k1)1(2)2(2＝＋－kxkxk（1）求证：次方程总有实数根（2）当方程有两个实数根且两实数根的平方和等于4时，求k的值。一元二次方程及其解法1.若关于x的方程（a－1）x21a＝1是一元二次方程，则a的值是（B）A、0B、－1C、±1D、152.下列方程:①x2=0,②21x-2=0,③22x+3x=(1+2x)(2+x),④32x-x=0,⑤32xx-8x+1=0中,一元二次方程的个数是()A.1个B2个C.3个D.4个3.把方程（x-5）(x+5）+(2x-1)2=0化为一元二次方程的一般形式是()A.5x2-4x-4=0B.x2-5=0C.5x2-2x+1=0D.5x2-4x+6=04.把关于x的方程)2(5)2(xxx化成ax2+bx+c=0形式,则a、b、c的值分别是A10,3,1B10,7,1C12,5,1D.2,3,15.方程x2=6x的根是()A.x1=0,x2=-6B.x1=0,x2=6C.x=6D.x=06.方2x2-3x+1=0经为(x+a)2=b的形式,正确的是()A.23162x;B.2312416x;C.231416x;D.以上都不对7.若两个连续整数的积是56,则它们的和是()A.11B.15C.-15D.±158.不解方程判断下列方程中无实数根的是()A.-x2=2x-1B.4x2+4x+54=0;C.2230xxD.(x+2)(x-3)==-59.某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元,如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为()A.200(1+x)2=1000B.200+200×2x=1000C.200+200×3x=1000D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=100010．关于x的2、一元二次方程01)1(22axxa的一个根是0，则a的值为（）（A）1（B）1（C）1或1（D）0.5二、填空题：11.如图，用一块长80㎝，宽60㎝的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成如图所示的底面积为1500㎝2的没有盖的长方体盒子，如果设截去的小正方形的边长为xcm那么长方体盒子底面的长为，底面的宽为，为了求出x的值，可列出方程612．关于x的方程(a2–4)x2+(a+2)x=8,当a时，是一元二次方程，当a时，是一元一次方程。13.用______法解方程3(x-2)2=2x-4比较简便.14.如果2x2+1与4x2-2x-5互为相反数,则x的值为________.15.如果关于x的一元二次方程2x(kx-4)-x2+6=0没有实数根,那么k的最小整数值是__________.16.如果关于x的方程4mx2-mx+1=0有两个相等实数根,那么它的根是_______.17.若一元二次方程(k-1)x2-4x-5=0有两个不相等实数根,则k的取值范围是_______.18.某种型号的微机,原售价7200元/台,经连续两次降价后,现售价为3528元/台,则平均每次降价的百分率为______________.三、解答题19.试说明关于x的方程012)208(22axxaa无论a取何值，该方程都是一元二次方程；20.已知方程0122kxx的一个根为2，求k的值及方程的另外一个根？21.用适当的方法解下列一元二次方程.(1)5x(x-3)=6-2x;(2)3y2+1=23y;(3)(x-a)2=1-2a+a2(a是常数)22.已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的一个解是2,另一个解是正数,而且也是方程(x+4)2-52=3x的解,你能求出m和n的值吗?7四、列方程解应用题23.某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%,若每年下降的百分数相同,求这个百分数.24.某校初三（2）班的师生到距离10千米的山区植树，出发1个半小时后，张锦同学骑自行车从学校按原路追赶队伍，结果他们同时到达植树地点．如果张锦同学骑车的速度比队伍步行的速度的2倍还多2千米．(1)求骑车与步行的速度各是多少？(2)如果张锦同学要提前10分钟到达植树地点，那么他骑车的速度应比原速度快多少？一元二次方程及其解法（B卷）1．若一个三角形的三边长均满足方程x2-6x+8=0，则此三角形的周长为.82.已知3x是方程1210xkx的一个根，求k的值和方程其余的根。3.你能用所学知识解下面的方程吗?试一试：2x2+5│x│-12=04.已知一直角三角形的三边为a,b,c,∠B=90°,请你判断关于x的方程a(x2-1)-2cx+b(x2+1)=0的根的情况.5.已知关于x的方程mxmx11有实数根，求m的取值范围。6.有一面积为150m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为35m，求鸡场的长与宽各为多少；97.某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用作购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行。若存款的利率不变，到期后得本金和利息共1320元。求这种存款方式的年利率。8.要在长32m，宽20m的长方形绿地上修建宽度相同的道路，六块绿地面积共570m2,问道路宽应为多宽？9.如图所示：某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m2的三级污水处理池。由于地形限制，三级污水处理池的长、宽都不能超