新课标高考数学理一轮复习课件：3.3 利用导数研究函数的极值

1．设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有__________，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值．如果对x0附近的所有的点，都有__________，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值．极大值与极小值统称极值．2．一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法如下：解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，f(x)＜f(x0)f(x)＞f(x0)(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是_____值．(2)如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极小值．3．一般地，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求函数y＝f(x)在______内的极值．(2)将函数y＝f(x)的_________与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是_______，最小的一个是_______．极大f′(x)＜0f′(x)＞0[a，b]各个极值最大值最小值1．下列命题中，正确的是()A．导数为0的点一定是极值点B．如果在点x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值C．如果在点x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极小值D．如果在点x0附近的右侧f′(x)＞0，左侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值解析：根据极值的定义可知B正确．答案：B2．下列函数存在极值的是()A．y＝1xB．y＝x43C．y＝πD．y＝x3解析：函数y＝1x，y′＝－1x2＜0，不存在极值；函数y＝π，y′＝0恒成立，不存在极值；函数y＝x3，y′＝3x2，在x＝0处导数等于0，但这一点并非极值点；函数y＝x43，y′＝43x13，令y′＝0得x＝0，当x＞0时，y′＞0，当x＜0时，y′＜0，故选B.答案B3．函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：设导数f′(x)的图象与x轴交点的横坐标(除原点)从左到右分别为x1，x2，x3，从图象知，在(a，x1)、(x2,0)、(0，x3)上f′(x)＞0，在(x1，x2)、(x3，b)上f′(x)＜0，即在(a，x1)上f(x)递增，在(x1，x2)上递减，在(x2，x3)上递增，在(x3，b)上递减．函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点只有一点x2.答案：A4．函数y＝xe－x的极大值为________．解析：y′＝e－x－xe－x＝(1－x)e－x，当x＜1时函数递增，当x＞1时函数递减，所以x＝1时，函数取极大值．答案：1e从以下几点正确理解函数极值的概念：(1)函数f(x)在点x0及其附近有定义是指在点x0及其左右区域都有意义．(2)极值点是函数f(x)定义域中的内点，因而端点绝不是函数的极值点．(3)极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧区域而言的．(4)连续函数f(x)在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能没有极值点．函数的极大值与极小值没有必然的大小联系，函数的一个极小值也不一定比它的一个极大值小．(5)函数f(x)在极值点处不一定存在导数．(例如函数y＝|x|，x＝0是函数的极小值点，但在x＝0处不存在导数)(6)可导函数的极值点一定是使它的导数为零的点，反之使函数的导数为零的点，不一定是该函数的极值点．因此使导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，其充分条件是这个点两侧的导数异号．(7)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念．函数的最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念．(8)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的可导函数不一定有最值．若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．(9)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值．(10)如果函数不在闭区间[a，b]上可导，则确定函数的最值时，不仅比较使该函数的导数为零的点与端点处的值，还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值．(11)在解决实际应用问题时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么要根据实际意义判断是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值进行比较．考点一函数的极值与导数【案例1】若函数f(x)＝x2＋ax＋1在x＝1处取极值，则a＝________.关键提示：先求出函数的导数，再由x＝1是导函数等于零的根求得a的值．解析：由f(x)＝x2＋ax＋1，得f′(x)＝2xx＋1－x2＋ax＋12.令f′(x)＝0，由x≠－1，得x2＋2x－a＝0.又函数在x＝1处取得极值，所以x＝1是x2＋2x－a＝0的根，所以a＝3.答案：3【即时巩固1】已知函数f(x)＝x3－3ax2＋2bx在x＝1处有极小值－1，试确定a、b的值，并求f(x)的单调区间．解：由f1＝1－3a＋2b＝－1，f′1＝3－6a＋2b＝0，解得a＝13，b＝－12.所以f(x)＝x3－x2－x，所以f′(x)＝3x2－2x－1.由f′(x)＞0，得x＜－13或x＞1；由f′(x)＜0，得－13＜x＜1.所以函数f(x)的单调递增区间是－∞，－13和(1，＋∞)，单调递减区间是－13，1.考点二函数的最值与导数【案例2】设函数f(x)＝ln(2x＋3)＋x2.(1)讨论f(x)的单调性；(2)求f(x)在区间－34，14上的最大值和最小值．解：f(x)的定义域为－32，＋∞.(1)f′(x)＝22x＋3＋2x＝4x2＋6x＋22x＋3＝22x＋1x＋12x＋3.当－32x－1时，f′(x)0；当－1x－12时，f′(x)0；当x－12时，f′(x)0.从而，f(x)分别在区间－32，－1，－12，＋∞上单调递增，在区间－1，－12上单调递减．(2)由(1)知f(x)在区间－34，14上的最小值为f－12＝ln2＋14.又f－34－f14＝ln32＋916－ln72－116＝ln37＋12＝121－ln4990，所以f(x)在区间－34，14上的最大值为f14＝116＋ln72.(1)求a、b、c的值；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．解：(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0.①【即时巩固2】已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，当x＝23时，y＝f(x)有极值．当x＝23时，y＝f(x)有极值，则f′23＝0，可得4a＋3b＋4＝0.②由①、②解得a＝2，b＝－4.因为l上切点的横坐标为x＝1，所以f(1)＝4，所以1＋a＋b＋c＝4，所以c＝5.(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，所以f′(x)＝3x2＋4x－4.令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝23.所以f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝13，在x＝23处取得极小值f23＝9527.又f(－3)＝8，f(1)＝4，所以f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为9527.考点三创新应用【案例3】已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx－2的图象过点(－1，－6)，且函数g(x)＝f′(x)＋6x的图象关于y轴对称．(1)求m、n的值及函数y＝f(x)的单调区间；(2)若a＞0，求函数y＝f(x)在区间(a－1，a＋1)内的极值．关键提示：结合图象进行讨论．解：(1)由函数f(x)的图象过点(－1，－6)，得m－n＝－3.①由f(x)＝x3＋mx2＋nx－2，得f′(x)＝3x2＋2mx＋n，则g(x)＝f′(x)＋6x＝3x2＋(2m＋6)x＋n.而g(x)的图象关于y轴对称，所以－2m＋62×3＝0，所以m＝－3.代入①得n＝0.于是f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．由f′(x)＞0得x＞2或x＜0；由f′(x)＜0得0＜x＜2，故f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，f(x)的单调递减区间是(0,2)．(2)由(1)得f′(x)＝3x(x－2)，令f′(x)＝0得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：由此可得：当0＜a＜1时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极大值f(0)＝－2，无极小值；当a＝1时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值；当1＜a＜3时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极小值f(2)＝－6，无极大值；当a≥3时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值．综上得，当0＜a＜1时，f(x)有极大值－2，无极小值；当1＜a＜3时，f(x)有极小值－6，无极大值；当a＝1或a≥3时，f(x)无极值．【即时巩固3】已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．解：(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)．当a＜0时，对任意的x∈R，有f′(x)＞0，所以当a＜0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a＞0时，由f′(x)＞0解得x＜－a或x＞a；由f′(x)＜0，解得－a＜x＜a，所以当a＞0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)，f(x)的单调减区间为(－a，a)．(2)因为f(x)在x＝－1处取得极值，所以f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0.所以a＝1.所以f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合f(x)的单调性可知m的取值范围是(－3,1)．