新课标高考数学理一轮复习课件：7.5 数系的扩充与复数的引入

1．虚数单位i的平方等于____，实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的_______运算律仍然成立．2．复数表示成_________的形式叫做复数的代数形式．3．对于复数a＋bi，当_____时，它是实数；当_________时，它是实数0；当____时，叫做虚数；当__________时，叫做纯虚数；_____分别叫做复数a＋bi的实部与虚部．4．_________________________________，我们就说这两个复数相等．－1加、乘z＝a＋bib＝0a＝b＝0b≠0a＝0且b≠0a与b如果两个复数的实部和虚部分别相等5．复数集C和复平面内所有的点构成的集合是一一对应的，即________________________________________，这是复数的一个几何意义．设复平面内的点Z表示复6．两个复数相加(减)就是__________________________________，即(a＋bi)±(c＋di)＝______________.数z＝a＋bi，连结OZ，则向量OZ→由点Z唯一确定，反之点Z也可以由向量OZ→唯一确定，因此复数的另一几何意义是_________________________________.把两个复数的实部和虚部分别相加(减)(a±c)＋(b±d)i一一对应复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)一一对应复数z＝a＋bi平面向量OZ→7．(a＋bi)(c＋di)＝__________________.(a＋bi)÷(c＋di)＝__________________________．a＋bi的共轭复数为______.8．i4n＝__，i4n＋1＝__，i4n＋2＝___，i4n＋3＝___.9．z＝a＋bi，则|z|＝________，|z|＝________.a－bi(ac－bd)＋(ad＋bc)i1i－1－iac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋di≠0)a2＋b2a2＋b21．复数2＋i1－2i的共轭复数是()A．－35iB.35iC．－iD．i解析：因为2＋i1－2i＝i1－2i1－2i＝i，所以共轭复数为－i，故选C.答案：CA．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．在复平面内，复数1＋ii对应的点位于()解析：1＋ii＝1＋iii2＝－1＋i－1＝1－i，所以复数对应的点位于第四象限．答案：D3．如果实数b与纯虚数z满足关系式(2－i)z＝4－bi(其中i为虚数单位)，那么b等于()A．8B．－8C．2D．－2解析：因为z为纯虚数，所以可设z＝ai(a≠0)，由(2－i)z＝4－bi，得(2－i)ai＝4－bi，所以2ai＋a＝4－bi，所以a＝4，－b＝2a，故b＝－8.答案：B4．若复数z＝a2－1＋(a＋1)i(a∈R)是纯虚数，则|z|＝________.解析：由a2－1＝0，a＋1≠0⇒a＝1，所以|z|＝2.答案：2但忽略条件后，则不能成立．因此，解决复数相等的问题，一定要把复数的实部和虚部分离出来，再利用复数相等的充要条件化复数问题为实数问题．2．两复数不全是实数，就不能比较大小，只有相等与不相等的关系．1．在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a、b、c、d∈R，即当a、b、c、d∈R时，a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d，3．在复数向量表示中，注意复平面与一般坐标平面的区别．4．要记住一些常用的结果，如i、ω的有关性质等，可简化运算步骤，提高运算速度．考点一复数的概念【案例1】实数k为何值时，复数z＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i.(1)表示正实数；(2)虚部为负的纯虚数；(3)实部为正，虚部为负且虚、实部绝对值相等的数．关键提示：考查复数的概念．解：依题意，有(1)k2－3k－4＞0，k2－5k－6＝0，解得k＝6，此时z＝14.(2)k2－3k－4＝0，k2－5k－6＜0，解得k＝4，此时z＝－10i.(3)k2－3k－4＞0，k2－3k－4＝－k2－5k－6，解得k＝5，此时z＝6－6i.【即时巩固1】已知m∈R，复数z＝m2＋2mm－1＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，(1)z∈R，(2)z是虚数，(3)z是纯虚数．解：令m2＋2mm－1＝0得，m＝－2或m＝0.①令m2＋2m－3＝0得，m＝－3或m＝1.②(1)若z∈R，由②及m－1≠0知，m＝－3.(2)若z是虚数，则由②及m－1≠0知，m≠－3且m≠1.(3)若z是纯虚数，则由①知，m＝－2或m＝0.考点二复数相等的条件【案例2】已知x是实数，y是纯虚数，且满足(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，求x与y.关键提示：根据题设条件，y是纯虚数，x是实数，就可把等式两边都整理成a＋bi的形式，利用复数相等的充要条件得到关于x与y的方程组解之．解：设y＝bi(b∈R且b≠0)，代入条件并整理得(2x－1)＋i＝－b＋(b－3)i.由复数相等的条件得2x－1＝－b，1＝b－3，解得b＝4，x＝－32.所以x＝－32，y＝4i.【即时巩固2】若a，b∈R,i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则()A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－1解析：因为(a＋i)i＝－1＋ai＝b＋i，根据复数相等的条件可知a＝1，b＝－1.答案：C考点三复数的几何意义【案例3】若复数z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)的共轭复数z对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．关键提示：利用复数z＝a＋bi与点Z(a，b)的一一对应关系求解．解：z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i的共轭复数是z＝(m2＋m－1)－(4m2－8m＋3)i，故其对应的点是A(m2＋m－1，－4m2＋8m－3)，所以m2＋m－10，－4m2＋8m－30⇔m2＋m－10，4m2－8m＋30⇔m－1＋52或m5－12，12m32⇔5－12m32.所以所求m的取值范围是m5－12m32.A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【即时巩固3】复数z＝2＋i21－i(i是虚数单位)在复平面上对应的点位于()解析：z＝3＋4i1－i＝3＋4i1＋i2＝－1＋7i2＝－12＋72i.故选B.答案：B考点四复数代数形式的运算【案例4】设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i是虚数单位)，则z的实部是________．关键提示：考查复数的运算．解析：z＋1＝－3＋2ii＝(－3＋2i)(－i)＝2＋3i，所以z＝1＋3i，故实部是1.答案：1A．1B．－iC．±1D．±i【即时巩固4】设z的共轭复数是z，若z＋z＝4，z·z＝8，则zz等于()答案：D解析：设z＝a＋bi，由题意知z＋z＝4，所以a＝2.又z·z＝a2＋b2＝8，所以b＝±2，即z＝2±2i.当z＝2＋2i时，zz＝2－2i2＋2i＝1－i1＋i＝1－i22＝－i；当z＝2－2i时，zz＝2＋2i2－2i＝1＋i1－i＝1＋i22＝i，综上，zz＝±i.