八年级下册数学第一章

1八年级下册数学第一章《证明二》章节复习专题一、全等三角形知识整理1、全等三角形的判定公理①：三边的两个三角形全等；公理②：两边及其夹角的两个三角形全等；公理③：的两个三角形全等；推论：的两个三角形全等。2、全等三角形的性质公理：全等三角形的对应边、对应角。典例分析例1、（2010年吉林）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=ＢＣ，CE⊥BE，CE与AB相交于点F，AD⊥CF，垂足为D，且AD平分∠FAC，请写出图中的两对全等三角形，并选择其中一对加以证明。FCAEBD例2、已知：如图，D是△ABC中BC边上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE，求证：∠BAE=∠CAE.(两种方法)专题二、等腰三角形知识整理1、等腰三角形的性质：（1）定理：等腰三角形的两个底角，简称“”；（2）推论：等腰三角形的顶角平分线、、互相重合，简称“”；2、等腰三角形的判定：的三角形是等腰三角形，简称“”；3、等边三角形的性质：等边三角形的三个内角，且每个内角都等于。4、等边三角形的判定：（1）有一个角为60°的是等边三角形；（2）三个角都的三角形是等边三角形。典例分析例1、已知：如图，AB=AC,D是AB上一点，DE⊥BC于点E，ED的延长线交CA的延长线于点F.求证：△ADF△错误!未找到引用源。是等腰三角形．例2、如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，求∠ABC的度数2图2　图1ABCDOODCBA例3、如下图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点（M与A不重合）MD⊥BC，交∠BAC的平分线于点D，求证：MD=MA.例4、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．例5、如右图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD.例6、如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边△ABD，连接DC，以DC为边作等边△DCE，B、E在C、D的同侧，若AB=2，求BE的长.例7、如图1、图2，△AOB，△COD均是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90º，（1）在图1中，AC与BD相等吗？请说明理由（4分）（2）若△COD绕点O顺时针旋转一定角度后，到达图2的位置，请问AC与BD还相等吗？为什么？（8分）例8、如图，在△ABC中，AB=AC、D是AB上一点，E是AC延长线上一点，且CE=BD，连结DE交BC于F。（1）猜想DF与EF的大小关系；（2）请证明你的猜想。例9、已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE＝CD．求证：BD＝DE．3例10、（2010年宁波）如图2，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别是△ABC，△BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（）图2ABCDE图3OGFEABDC例11、如图3所示，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，AE与BD交于点O,AE与BD交于点F，连接OC，FG，则下列结论：①AE=BF;②AG=BF；③FG∥BE，④∠BOC=∠EOC其中正确结论的个数为（）A、0个；B、1个；C、2个；D、3个例12、等腰三角形底边长为7，一腰上的中线把其周长分成两部分的差为3，则腰长是（）A、4B、10C、4或10D、以上答案都不对专题三、线段的垂直平分线和角平分线知识整理1、线段垂直平分线定理及其逆定理：线段垂直平分线上的点到的距离相等；到的点在这条线段的垂直平分线上。2、角平分线的性质定理及其逆定理：角平分线上的点到距离相等；在角的内部，到距离相等的点在这个角的平分线上。3、三角形的三边垂直平分线、角平分线的性质定理：三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，并且这点到三角形的的距离相等；三角形的三个角的平分线相交于一点，这点到三角形的的距离相等；典例分析：例1：在△ABC中，AB的中垂线DE交AC于F，垂足为D，若AC=6，BC=4，求△BCF的周长。ECFADB例2：如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=1200，D、F分别为AB、AC的中点，DEABFGAC，，E、G在BC上，BC=15cm，求EG的长度。ADFBEGC4例3:：如图所示，Rt△ABC中，，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F。求证：BE垂直平分CD。例4、如图3所示，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，CD=2求BD的长。例5、如图19，在ABC中，090C，AC=BC，AD平分CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，若AB=6cm.你能否求出BDE的周长？若能，请求出；若不能，请说明理由.例6、（8分）如图21，在ABC中，090A，AB=AC，ABC的平分线BD交AC于D，CE⊥BD的延长线于点E.求证：12CEBD.例7、（8分）如图23，090AOB，OM平分AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由.例8、如图所示，ABAC，A的平分线与BC的垂直平分线相交于D，作DEAB于E，DFACF于，求证：BE=CF。CEADBF图3CBAD图21图23AEBMCFD5例9、如图，△ABC中，AD为∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于点F，连接AF。求证：∠B=∠CAF专题四、直角三角形知识整理1、直角三角形的性质和判定直角三角形的性质：（1）勾股定理：；即：；（2）直角三角形中，30°角所对的直角边等于。（3）直角三角形斜边上的中线等于。直角三角形的判定定理：（1）逆定理：若一个三角形中，，则这个三角形是直角三角形。（2）如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是。2、直角三角形的全等：和对应相等的两个直角三角形全等，简称“HL”定理。典例分析：例1、（2010年菏泽市）如图1所示，在Rr△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，CD=5cm，求AB的长。例2：如图2-5所示．在等边三角形ABC中，AE=CD，AD，BE交于P点，BQ⊥AD于Q．求证：BP=2PQ．例3、已知：如上图，在等边三角形ABC中，D、E分别为BC、AC上的点，且AE＝CD，连结AD、BE交于点P，作BQ⊥AD，垂足为Q．求证：BP＝2PQ.EDFCBA图1CABD6例4：如图，ABC中，3590,12,,22CCDBD，求AC的长。例5：如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积。CADB例6：如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？例7、（13分）如图12，ABCD是一张长方形的纸片，折叠它的一边AD，使点D落在BC边上的F点处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，那么EC等于多少？你能证明你的结论吗？例8、（三明市）如图△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点。（1）求证：△ACE≌△BCD；（2）若AD=5，BD=12,求DE的长。例9、（绥化市）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC为一边，在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为，（提示：分三种情况）CA1B1AB图2EACBD