离散型随机变量的均值方差复习课

离散型随机变量的期望与方差复习课要点梳理1.若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值称E(X)=_________________________为随机变量X的均值或______________.它反映了离散型随机变量取值的____.2.离散型随机变量的均值与方差x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn数学期望平均水平(2)方差称D(X)=为随机变量X的方差,它刻画了随机变量X与其均值E(X)的_____22211()()()()iinnDXxEXpxEXpxEXp平均偏离程度其中_________________为随机变量X的标准差.()DX算数平方根①明确含义，确定所有可能取值；②求出概率；③列成表格.3.均值与方差的性质(1)E(aX+b)=__________.(2)D(aX+b)=________.(a,b为常数)4.两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布,则E(X)=,D(X)=.(2)若X~B(n,p),则E(X)=____,D(X)=_________.aE(X)+ba2D(X)p(1)pp(1)nppnp()()()()1(),()()()(),()()1,()()()()()(|)(),()=()(|)()()0PAUBPAPBPABPABABPAUBPAPBABPAPBABPABPAPBnABPABPBAPABPAPBAnAPAPAA,B互斥反之，成立；对立相互独立（用来判定相互独立）变形不一定：5.事件关系及概率常见公式设随机变量ξ具有分布P(ξ=k)=k=1,2,3,4,5,求Eξ2,D(2ξ-1),,51.)1(D1111115123453.555555E.11515514513512511)(22222E题型一、均值与方差性质的应用解∵利用性质E(aξ+b)=aEξ+b,D(aξ+b)=a2Dξ.22222111(13)(23)(33)55511(43)(53)551(41014)2.5D(1)2.DDD(2ξ-1)=4Dξ=8,练习：将一枚硬币抛掷20次，求正面次数与反面次数之差的概率分布，并求出的期望E与方差D.设随机变量则()A.n=8,p=0.2B.n=4,p=0.4C.n=5,p=0.32D.n=7,p=0.45解析,28.1)(,6.1)(),,(~DEpnB且~(,),1.6,8,(1)1.28,0.2.BnpEnpnDnpppA题型二、求离散型随机变量的期望、方差期望和方差（4）从乙厂抽出的上述5件产品中，依次抽取2件，已知第一次抽得优等品，求第二次抽得优等品的概率。2224343419(0)(1)(2).5105551025D1()110AB(|).2()45PABPBAPA记第一次抽得优等品为事件，第二次抽的优等品为事件，则510某批数量较大的商品的次品率是％，从中任意地连续取出件，为所含次品的个数，求的期望和方差。某校设计了一个实验学科的实验考查方案，考生从6道备选题中一次性地随机抽取3道题，按照题目要求独立完成全部实验操作．规定：至少正确完成其中2道题的便可通过．已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都为23，且每题正确完成与否互不影响．(1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算其数学期望；(2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力．题型三、期望与方差的实际应用[解](1)设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为ξ，η，则ξ取值分别为1,2,3；η的取值分别为0,1,2,3.P(ξ＝1)＝C14C22C36＝15，P(ξ＝2)＝C24C12C36＝35，P(ξ＝3)＝C34C22C36＝15，考生甲正确完成题数的概率分布列为：ξ123P153515Eξ＝1×15＋2×35＋3×15＝2.乙完成题数23,3B∴考生乙做对题数η的期望为Eη＝nP＝3×23＝2.(2)Dξ＝(2－1)2×15＋(2－2)2×35＋(2－3)2×15＝25，Dη＝np(1-p)＝23∴DξDη.从做对题数的数学期望考察，两人水平相当；从方差考察甲较稳定．从至少完成2题的概率考察，甲通过的可能性大．因此可以判断甲的实验操作能力较强．某公司有10万元资金用于投资，根据市场分析知道：如果投资甲项目，一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为12，14，14；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β(α＋β＝1)．(1)如果把10万元投资甲项目，用ξ表示投资收益(收益＝回收资金－投资资金)，求ξ的分布列及Eξ；(2)假设把10万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围．解：(1)依题意，ξ可能的取值为1,0，－1.则ξ的分布列为：ξ10－1P121414Eξ＝12－14＝14.(2)设η表示10万元投资乙项目的收益，则η的分布列为：η2－2Pαβ5.袋中有相同的5个球,其中3个红球,2个黄球,现从中随机且不放回地摸球,每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时,即停止摸球,记随机变量ξ为此时已摸球的次数,(1)随机变量ξ的概率分布列；(2)随机变量ξ的数学期望与方差.解(1)随机变量ξ可取的值为2,3,4,所以随机变量ξ的概率分布列为：;101CCCCCA)4(;103CCCCACA)3(;53CCCCC)2(121314151233131415122313221415121312PPPξ234P53103101(2)随机变量ξ的数学期望随机变量ξ的方差;2510141033532)(E.)()()()(20910125410325353252222D6.某地区试行高考考试改革:在高三学年中举行5次统一测试,学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习,不用参加其余的测试,而每个学生最多也只能参加5次测试.假设某学生每次通过测试的概率都是每次测试时间间隔恰当,每次测试通过与否互相独立.(1)求该学生考上大学的概率；(2)如果考上大学或参加完5次测试就结束,记该生参加测试的次数为X,求X的分布列及X的数学期望.,31解(1)记“该学生考上大学”为事件A，其对立事件为(2)参加测试次数X的可能取值为2,3,4,5..])())(([C)(,)())((C)(,243131323231132323154155415APAPA则.)()(C)(;)(C)(;C)(;)()(2716323231527431323142743132313913124314213122XPXPXPXP故X的分布列为：答该生考上大学的概率为所求数学期望是X2345P912742742716.9382716527442743912)(XE.938,2431313.设随机变量则()A.n=8,p=0.2B.n=4,p=0.4C.n=5,p=0.32D.n=7,p=0.45解析,28.1)(,6.1)(),,(~DEpnB且.2.0,8,28.1)1()(,6.1)(),,(~pnpnpDnpEpnBA4.有一批产品,其中有12件正品和4件次品,从中有放回地任取3件,若X表示取到次品的次数,则D(X)=______.解析.16943413)(),41,3(~XDBX169