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对数与对数函数复习一,对数1,对数的概念:在指数函数(01)xyaaa且中,对于实数集R内的每一个值x,在正实数集R内都有唯一确定的y值和它对应,反之,对于正实数集R内的每一个值y,在正实数集R内都有唯一确定的x值和它对应。在式子xya中,x称为幂指数,又叫做以a为底y的对数,可以记作log(0,1)axyaa。2,对数恒等式和对数的性质对数恒等式:logayay(注意,当幂的底数和对数的底数都相同时,对数恒等式才适用)。对数log(0,1)aNaa具有下列性质:(1)零和负数没有对数,即0N;(2)1的对数为零,即log10a;(3)底的对数等于1,即log1aa3,常用对数和自然对数对数log(0,1)aNaa,的那个底数:(1)10a时,叫做常用对数,记作lgN;(2)ae时,叫做自然对数,记作lnN,其中e为无理数,2.71828e。4,对数的运算(1)对数的运算性质log()log()log()aaaMNMN;log()log()log()aaaMMNNloglognaaNnN(2)对数的换底公式logloglog(0,1,0,1,0)ccbaabaaccb两个推论:loglogmananNNm;1loglog(0,1,0,1)baabaabb【例1】(2008重庆)已知234(0)9aa,则23log______a【例2】设1232,2()log(1),2xexfxxx,则[(2)]ff的值为:——【例3】方程233log(10)1logxx的解为:?二,对数函数1,函数log(0,1,0)ayxaax叫做对数函数,定义域:R,值域:R。2,对数函数的图像和性质(1)对数函数图像的画法:1)利用描点法;2)利用指数函数与对数函数互为反函数,图像关于直线yx对称。(2)对数函数的图像特征和性质:基本性质:定义域,值域,过定点,增减性;补充性质:设1logayx,1logbyx,其中1,1ab(或01,01ab),在x轴上方:当1x时,“底大图低”,即若ab,则12yy;当01x时,“底大图高”,即若ab,则12yy;【说明】对数函数logayx的底a越大,函数图像在x轴上方部分越偏居右侧,如图:两个单调性相同的对数函数,它们的图像在位于直线1x右侧的部分是“底大图低”。如图:1nm时:01mn时,【例5】如图是对数函数logayx的图像,已知a的值取4313,,,3510,则相应于1234,,,CCCC的a的值依次为:3,对数型函数的题型及解题技巧1)对数型函数的定义域求解方法类似于求复合函数的定义域,注意:真数大于0,底数大于0且不等于1【例6】求函数224lg(23)xyxx的定义域。2)定义域或值域为全体实数的问题对于形如log[()]ayx的定义域或值域为R的问题,关键是抓住对数函数logayx的定义域和值域,并结合图像来分析和解决问题。由图像可知,要使函数logayx的值域为R,则x必须取遍(0,)内的所有的值(一个都不能少)。因此,若log[()]ayx的定义域为R,特别当2()(0)xaxbxca时,必须:0a,且0若log[()]ayx的值域为R,特别当2()(0)xaxbxca时,必须:0a,且0【例7】已知函数2()lg(21)fxaxx(1)若()fx的定义域为R,求实数a的取值范围;(2)若()fx的值域为R,求实数a的取值范围;3)对数型函数单调性的问题关键:(1)看底数是否大于1,当底数为明确给出时,则应对底数是否大于1讨论;(2)运用复合函数的单调性进行讨论;(3)注意其定义域。【例8】,讨论函数()log(31)afxx的单调性。4)利用函数的图像解题(数形结合思想)【例9】方程22log(2)xx的实数解有几个?【例10】(2009天津模)方程log(0,1)xaaxaa实数解的个数有几个?5)对数函数的综合性问题【例11】(2008全国)已知1()log(0,1)1axfxaax,(1)求()fx的定义域;(2)求使()0fx的x的取值范围。
本文标题:对数与对数函数复习
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