关于圆锥曲线切线问题的一些思考(东南大学,徐文平)

1椭圆内接四边形的四极点共线调和分割定理徐文平（东南大学南京210096）摘要：针对椭圆内接四边形开展极点与极线问题研究，发现了椭圆内接四边形的四极点共线调和分割定理，即椭圆内接四边形的对边延伸线交点调和分割对角线极点。运用极点与极线的知识，并采用椭圆问题化圆处理方法，进行了新定理的简单证明。关键词：椭圆切线、内接四边形、极点与极线、调和分割、尺规作图椭圆内接四边形有许多优美的性质，与经典的几何定理有着千丝万缕的渊源，是研究二次曲线射影几何理论的试金石。作者在研究椭圆切线性质过程中，发现了椭圆内接四边形的四极点共线调和分割定理，深感奇妙，供大家鉴析。一、新定理的提出新定理1：椭圆内接四边形的对边延伸线两交点调和分割对角线两极点。如图1，椭圆内接四边形KLMN，对边线KN与LM交于A，对边线KL与NM交于B，对角线KM的极点为C，对角线LN的极点为D，KM与LN交于Q点，则A、B、C、D四点共线，且AB调和分割CD，即1/AC+1/AD＝2/AB。图1新定理2：椭圆内接四边形的其中一条对角线通过椭圆圆心，则另一条对角线的极点必定平分对椭圆内接四边形的对边延伸线两交点连线。新定理2是新定理1的一种特殊情况，如图2，椭圆内接四边形KLMN的对角线LN通过椭圆心，则对角线LN的极点在无穷远处，对角线KM的极点C必定平分椭圆内接四边形KLMN的对边延伸线两交点AB连线，即AC＝CB。图22二、新定理的证明新定理证明思路：圆是椭圆的一种特殊情况，直线与圆的几何位置关系相对简单易证。采用坐标线性变换方法和坐标旋转方法，可将椭圆转化为圆，那么，直线与椭圆相切的问题就会大大简化。我们首先证明新定理在圆的情况下成立，然后采用坐标变换和坐标旋转方法，可以快速地证明新定理在椭圆情况下也成立。如图3，圆⊙O内接四边形KLMN，对边KN与LM交于A，对边KL与NM交于B，对角线KM的极点为C，对角线LN的极点为D，KM与LN交于Q点。将极点C、B关于圆⊙O的切线延伸交叉，构成圆⊙O的外切四边形EHFG，连接F、Q、E、B四点连线，连接A、G、Q、H四点连线。运用经典几何定理以及射影几何的极点极线知识进行新定理证明，具体步骤如下：1）需证明A、B、C、D四点共线，即四个极点共线于Q点的极线上；2）需证明F、Q、E、B四点共线，需证明A、G、Q、H四点共线；3）需证明GD、CH、FB三线共点于E点；4）需证明A、B、C、D四点是调和点列。图3定义1：对于线段AB的内分点C和外分点D，满足DBADCBAC，则称点C、D调和分割线段AB或A、B、C、D是调和点列。图4调和点列的等价判定形式：(1)点A、B调和分割线段CD；(2)ABADAC211；（3）BDACBCADCDAB223引理1：从圆⊙O外一点P，引圆的两条切线和一条割线，S、T为切点，A、B点为割线与圆的交点，弦线ST与PAB割线交于Q点，那么PQ调和分割AB。图5假设N点为AB的中点，分析得知，AB⊥ON，∴Q、M、N、O四点共圆，POPMPNPQ∵ΔPOT与ΔPMT是相似三角形，POPMPT2∵PBPAPT2，∴PBPAPNPQ∵2/PBPAPN，∴PBPAPBPAPQ2)(∴PQPBPA211；或BQPBAQPA∴PQ调和分割AB。定义2：如图5，P点称为ST切点弦线关于圆⊙O的极点，ST切点弦线称为P点关于圆⊙O的极线，极点与极线是相互对应的。引理2：从圆⊙O外一点P引两条切线，得到两个切点S、T点，从圆外一点P引两任意割线，与圆交于A、B与C、D四点，交叉连接AD、BC交于Q点，AC与BD延伸交于R点，则S、T、Q、R四点共线。图6如图6，联结AS、SB、BD、DT、TC、CA直线，得圆内接的凸六边形ASBDTC。欲证S、Q、T三点共线，只需证明AD、BC、ST三线共点。4对于圆内接凸六边形ASBDTC，利用塞瓦定理,只须证明1SBCADTASTCBD∵ΔPBD∽ΔPCA，ΔPTC∽ΔPDT，ΔPAS∽ΔPSB，则PCPBCABD，PTPCDTTC，PBPSSBAS又∵PTPS，∴1PBPSPTPCPCPBSBASDTTCCADB∴1SBASCATCDTDB因此，BC、AD、ST三线共点，S、Q、T三点共线，Q点在以P点为极点的ST极线上。在三角形ΔRCD中，假设M点为RQ与CD的交点，由赛瓦定理得：1ACRABRDBMDCM∵ΔRCD被直线PB所截，由梅涅劳斯定理得：1ARCAPCDPDBRB将上面两个式子相乘得:1PCDPMDCM即：DPPCMDCM或DMDPCMPC∴CD被PM调和分割，同时PM也被CD也调和分割。依据引理1可知，M点在极线ST上，所以M、R、S、T四点共线，∴M、S、T、Q、R五点共线，因此S、T、Q、R四点共线。定义3：如图6，依据射影几何知识，可以证明三角形ΔPQR每个顶点是其对边的极点。即：P点是QR的极点，R点是QP的极点，Q点是PR的极点，ΔPQR称为自配极三角形。引理3（帕斯卡定理）：设六边形ABCDEF内接于椭圆，直线AB与DE交于点X，直线CD与FA交于点Z，直线EF与BC交于点Y，则X、Y、Z三点共线。如图7，当椭圆内接六边形ABCDEF在两处各有2个顶点重合，即当B（C）点重合，E（F）点重合，椭圆内接六边形ABCDEF退化为椭圆内接四边形AB（C）DE（F），BY与EY退化为切线，帕斯卡定理仍然成立，即圆内接四边形的对边两交点与对角线极点共线。图75引理4（布列安桑定理）：布列安桑定理是一个射影几何中的著名定理，是帕斯卡定理的对偶定理，它断言圆锥曲线外切的六边形的三条对角线共点。图8引理5（牛顿定理3）：圆的外切四边形的对角线的交点和以切点为顶点的四边形对角线交点重合。图9证明一：牛顿定理3是布列安桑定理的一个特殊情况，即当圆的外切六边形的一组对角顶点的内角为180°时，这一组对角点转化为两个切点，牛顿定理3成立。证明二：如图9，AD与QS交于M点，设AD与PR交于M点，证明点M与点M重合。由切线性质，知∠ASM＝∠BQM，则QMSMDQASSSDMSMQMAMDMQAMS即：DQASDMAM同理可得：DRAPMDMA∵ASAP，DQDR∴MDMADMAM由合比定理得，M与点M重合。即知AD、PR、QS三线共点。同理可知BF、PR、QS三线共点，所以直线AD、BF、PR、QS四线共点，牛顿定理3成立。6引理6：如图10，MA和MB是圆⊙O的切线，M点是AB弦线的极点，P是直线AB上的一点，则PAPBMAPM22。图10联接MO交AB于点K，则有：222PKMKPM∵BKAK∴BKPKAKPKPBPA22AKPK即PBPAAKPK22则PBPAAKMKPM222PBPAMA2引理7：如图11，圆⊙O的外切四边形ABCD，外切点为E、F、G、H四点，EH、FG相交于P点，则OP⊥AC，即AC是P点的极线。图11证明一：AE、AH是A点关于圆⊙O的切线，EH是A点的极线，所以P、A两点共轭，同理P、C两点共轭，故AC是P点的极线，所以OP⊥AC。证明二：要证明OP⊥AC，依据等差幂线定理，只需证明2222OCOAPCPA由引理6得：PEPHAEPA22PFPGFCPC227∵PFPGPEPH2222FCAEPCPA∵222rOAAE，222rOCFC∴2222OCOAPCPA∴OP⊥AC，即AC是P点关于圆⊙O的极线。引理8(麦克马林定理)：如图12，假设K、L、M、N四点是圆⊙O的外切四边形FGEH的4个切点，圆⊙O的内接四边形KLMN的对角线KM、LN相交于Q点，则F、Q、E、B四点共线，A、G、Q、H四点共线。图12证明：由牛顿定理3可知，LN、KM、FE三线共点于Q，则F、Q、E三点共线。依据引理6、7可知，FQE是A点关于圆⊙O的极线。依据引理2和定义3可知，QB也是A点关于圆⊙O的极线。因此，F、Q、E、B四点共线，麦克马林定理成立。同理可知，A、G、Q、H四点也共线。新定理证明：依据前面的引理的推导分析，可以构造出图13，新定理证明如下：图138如图13，椭圆内接四边形KLMN的对角线KM、LN交于Q点，KN、LM对边延伸线交于A点，KL、NM对边延伸线交于B点，C点为对角线KM的极点，D点为对角线LN的极点。K、L、M、N四点为椭圆外切四边形EHFG的四个切点，椭圆外切四边形EHFG的对角线连EF、GH交于Q点。由帕斯卡定理，依据引理3，可知A、B、C、D四点共线，四极点共线成立。由牛顿定理，依据引理5可知，椭圆的外切四边形的对角线的交点和以切点为顶点的四边形对角线交点重合。椭圆外切四边形EHFG的对角线EF、GH交点Q和以K、L、M、N四个切点为顶点的椭圆内接四边形KLMN的对角线KM、LN交点Q重合。由麦克马林定理，依据引理6、7、8可知，椭圆外切四边形EHFG的对角线EQF为A点关于椭圆的极线。又依据引理2和定义3可知，QB也为A点关于椭圆的极线。因此，F、Q、E、B四点共线。同理可知，A、G、Q、H四点共线，AH为B点关于椭圆的极线。图14中，极点A与QB极线对应，极点B与AQ极线对应，极点Q与AB极线对应，ΔAQB为自配极三角形。推理分析图14可知，ΔFCD中FB、CH、DG三线共点交于E点，由赛瓦定理得：1GCFGHFDHBDCB∵ΔFCD被直线AH所截，由梅涅劳斯定理得：1ADCAGCFGHFDH由上面两个式子得:ADCABDCB整理得：：DBADCBAC或ABADAC211∴A、B、C、D四点共线，CD调和分割AB，新定理1证明成立。由射影几何知识可得，F点为射影点，A、G、Q、H四点共线，AQ调和分割GH，当LN通过椭圆圆心，极点D在无穷远处，依据调和点列性质可知，此时CBAC，新定理2也成立。三、新定理的运用例1（过椭圆上一点作切线）：已知椭圆Y上一点A，作竖向垂线，与椭圆Y相交于B点，点J、A是椭圆Y的象限点，作JA、BK延伸线相交于C点，过C点作竖向垂线，与水平轴交于N点，NA连线就是所求的椭圆切线T1。证明：依据新定理2，可快速进行证明。图149例2（椭圆内割线找极点）：已知椭圆内的斜向割线AB，点J、K是椭圆的象限点，JA、BK交E点，JB、AK交F点，竖向垂线直线EF的中点为N点，N点就是AB割线关于椭圆的极点，连线NA、NB与椭圆相切。图15证明一：椭圆内接四边形AKBJ的其中一条对角线JK通过椭圆圆心，N点为EF的中点，依据新定理2，N点就是AB的极点，NA、NB与椭圆相切。AB与JK交于Q，ΔEQF为自配极三角形，因为极点Q在水平向x轴上，Q点的极线EF必定与水平轴垂直。证明二：也可采用坐标线性变换，椭圆切线问题化圆处理，简化证明方法。图16如图16，在ΔJEF中，由于JK为圆⊙O的直径，且A、B、J、K四点共圆，∴AK⊥JE，BK⊥JF，∴K点是ΔEFF垂心，那么JK⊥EF，∴EF为竖向直线。∵AF⊥JE，BE⊥JF，∴A、B、E、F四点共圆，且以EF为直径。∵N点为EF的中点，∴N点为圆心，∴NBNANFEN易知∠FAN＝∠NFA＝∠EBA＝∠KJA＝∠JAO，∠OAN＝∠OAK＋∠FAN＝∠OAK＋∠JAO＝∠JAK＝90°，∴NA⊥OA，∴直线NA与圆⊙O相切。同理可知：直线NB与圆⊙O相切于B点，N点就是AB的极点。综上所述，证明了已知圆上一条割线找极点方法的正确性。那么将图形旋转一个角度，由于圆的对称性，三交点共线且平分现象仍然成立。在此基础上，采用坐标变换方法，圆就变化成为了椭圆，那么方法仍然成立，即证明新定理2成立。分析可知，OQ⊥EF，A、K、E、M四点共圆，K、B、F、M四点也共圆，所以M点是完全四边形ABJKEF的密克尔点。10例3：（极点极线与密克尔点）：M点是完全四边形ABCDEF的密克