备战2011年高考数学二轮专题复习 专题2第6讲三角函数的图象与性质课件 文 新人教版

专题2三角函数与平面向量知识网络构建专题2│知识网络构建考情分析预测专题2│考情分析预测专题2│考情分析预测专题2│考情分析预测专题2│考情分析预测专题2│考情分析预测专题2│考情分析预测三角函数作为基本初等函数，它是周期函数模型的典范，这部分内容概念、公式较多，知识点琐碎繁杂，需要强化记忆，要把握三角函数图象的几何特征，灵活应用其性质．平面向量具有几何与代数形式的双重性，是知识网络的重要交汇点，它与三角函数、解析几何、平面几何等都有一定的联系，要给予高度的重视．从近两年的高考题可以看出，每年对该专题的考查主要有两种形式：一是以小题形式考查概念、性质和公式的应用，一般考查2道小题，二是以解答题的形式考查三角函数的性质以及平面向量与三角的综合题，每年必考一大题，难度一般为中档，总的来看，这部分题是高考中容易得分的内容．专题2│考情分析预测预计2011年的考查形式不会变，解答题仍可能以向量为载体，考查三角函数性质以及三角变换为主，其热点是恒等变换与解三角形，特别是三角形中的三角函数问题要充分重视，因此对该部分的复习备考应注意基础性、应用性和工具性．第6讲│三角函数的图象与性质第6讲三角函数的图象与性质主干知识整合第6讲│主干知识整合一、三角函数的图象1．正弦、余弦、正切函数的图象．2．y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)图象及变换．(1)由函数y＝sinx到y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换：先将函数y＝sinx的图象向左(φ0)或向右(φ0)平移|φ|个单位，再将其上各点的横坐标变为原来的1ω倍，最后将各点的纵坐标变为原来的A倍．也可以先进行周期变换再进行相位变换，但此时平移φω个单位．第6讲│主干知识整合(2)注意：“变量变化”与“图象变化”的关系：当x→x＋φ时，若φ0则向左移φ个单位；若φ0则向右移|φ|个单位．当y→y＋m时，若m0则向下移m个单位；若m0则向上移|m|个单位．当x→ωx(ω0)时，则其横坐标变为原来的1ω.当y→ky(k0)时，其纵坐标变为原来的1k.要注意体会其“相反”的变化过程，把握其实质．3．不论是由解析式作图象，还是由图象求解析式一般都采用“五点法”．第6讲│主干知识整合二、三角函数的性质(定义域、值域、最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性)1．三角函数的单调性是三角函数最核心的性质，求定义域、值域、最值问题一般都与函数的单调性有关．2．对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，周期T＝2π|ω|，其对称轴是函数取得最大值或最小值所对应的直线，可由ωx＋φ＝kπ＋π2，k∈Z求出；其对称中心是函数图象与x轴的交点，可由ωx＋φ＝kπ，k∈Z求出；只有当其可化为：y＝±Asin(x)或y＝±Acos(x)时才具有奇偶性．类似地，可得到函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象与性质．对于y＝Atan(ωx＋φ)的图象与性质，需注意两点：①周期T＝π|ω|，②其图象只有对称中心而没有对称轴，并且对称中心为kπ2，0，k∈Z.要点热点探究第6讲│要点热点探究►探究点一三角函数的图象与解析式例1已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A0，ω0,0≤φ2π)在同一周期内有最高点π12，1和最低点7π12，－3.(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象．第6讲│要点热点探究图2－6－1第6讲│要点热点探究【解答】(1)由题意，2A＝1－(－3)＝4，T2＝7π12－π12＝π2，∴A＝2，T＝π，B＝1＋－32＝－1，故f(x)＝2sin(2x＋φ)－1.因为函数f(x)图象过点π12，1，所以2×π12＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z，又0≤φ2π，∴φ＝π3，f(x)＝2sin2x＋π3－1为所求．第6讲│要点热点探究(2)2x＋π3π3π2π3π22π7π3x0π12π37π125π6πf(x)3－11－1－313－1第6讲│要点热点探究第6讲│要点热点探究【点评】求三角函数的解析式f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B，就是根据图象的特征或函数的性质，依次确定参数A，B，ω，φ的值．作三角函数图象，一般用五点法，本题的作图是一个难点，它难在[0，π]不是一个标准五点作图的周期，所以在x的取值上要特别注意：先确定x取0，π，相应的取2x＋π3取π3，7π3，然后确定2x＋π3在π3，7π3内取π2，π，3π2，2π，相应的x在[0，π]内取π12，π3，7π12，5π6，正确地列出表来是能正确画出图的关键．第6讲│要点热点探究图2－6－1是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋BA0，ω0，|φ|∈0，π2图象的一部分，则f(x)的解析式为______________．图2－6－1第6讲│要点热点探究y＝2sin23x＋π6＋1【解析】根据函数图象提供的三个数据解决．(1)最低点(－π，－1)；(2)与y轴的交点；(3)最大值3.由于最大值和最小值之差等于4，故A＝2，B＝1.由于2＝2sinφ＋1，取φ＝π6.取ω(－π)＋φ＝－π2，得ω＝23.所以函数的解析式是y＝2sin23x＋π6＋1.根据三角函数图象求函数的解析式，主要解决两个问题，一个是ω，一个是φ.ω由三角函数的周期确定，φ由函数图象的位置确定．解决这类题目一般是先根据函数图象找到函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定φ值．这类题目中一般情况下ω的值是唯一确定的，但φ的值是不确定的，它有无数个，事实上如果φ0是满足条件的一个φ值，那么2kπ＋φ0都满足条件的φ值，故这类题目一般都限制了φ的取值范围．要点热点探究第6讲│要点热点探究►探究点二三角函数的图象变换例2(1)为了得到函数f(x)＝2cosx(3sinx－cosx)＋1的图象，需将函数y＝2sin2x的图象向右平移φ(φ0)个单位，则φ的最小值为________；(2)若函数y＝sin2x＋π6与函数y＝sin2x＋acos2x的图象的对称轴相同，则实数a的值为()第6讲│要点热点探究(1)π12(2)D【解析】(1)变换函数解析式后，根据三角函数图象平移的规则求解．f(x)＝2cosx(3sinx－cosx)＋1＝23sinxcosx－2cos2x＋1＝3sin2x－cos2x＝2sin2x－π6＝2sin2x－π12.因此只要把函数y＝2sin2x向右平移π12＋2kπ(k∈N)个单位即可得到函数f(x)的图象，显然平移的最小值为π12.第6讲│要点热点探究(2)两函数图象的对称轴相同，由于正弦函数、余弦函数的对称轴有无数条，因此可以首先确定不含参数的三角函数的一条对称轴，根据这条对称轴方程确定含有参数的三角函数中的参数，再进行检验．第6讲│要点热点探究y＝sin2x＋π6即y＝1－cos2x＋π32，这个函数图象的对称轴方程是2x＋π3＝kπ(k∈Z)，取k＝0得其中一条对称轴方程是x＝－π6.如果x＝－π6是函数y＝sin2x＋acos2x的对称轴，则当x＝－π6时，这个函数取得最值，即sin－π3＋acos－π3＝±1＋a2，即－32＋12a＝±1＋a2，即34－32a＋14a2＝1＋a2，即3a2＋23a＋1＝0，解得a＝－33.当a＝－33时，函数y＝sin2x＋acos2x＝sin2x－33cos2x＝－23332sin2x－12cos2x＝233cos2x＋π3，显然此时符合要求．故a＝－33，应选D.第6讲│要点热点探究【点评】当两个函数的名称不同时，首先要将函数名称统一，其次要把ωx＋φ变换成ωx＋φω再确定平移的单位、根据φω的符号确定平移的方向．函数图象的平移变换规则是“左加右减”，并且在变换过程中只变换其中的自变量x，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位和方向．要点热点探究第6讲│要点热点探究►探究点三三角函数的性质例3已知向量m＝(cosωx，sinωx)，n＝(cosωx，3cosωx)，设函数f(x)＝m·n.(1)若f(x)的最小正周期是2π，求f(x)的单调递增区间；(2)若f(x)的图象的一条对称轴是x＝π6，(0ω2)，求f(x)的周期和值域．第6讲│要点热点探究【解答】(1)f(x)＝cos2ωx＋3sinωx·cosωx＝cos2ωx2＋32sin2ωx＋12＝sin2ωx＋π6＋12.∵T＝2π2ω＝2π，∴ω＝12，则f(x)＝sinx＋π6＋12，由2kπ－π2≤x＋π6≤2kπ＋π2，得2kπ－2π3，2kπ＋π3(k∈Z)为单调递增区间．第6讲│要点热点探究(2)∵x＝π6是函数的一条对称轴，∴2ω×π6＋π6＝kπ＋π2，∴ω＝3k＋1.又∵0ω2，k∈Z，∴当k＝0时，ω＝1，∴f(x)＝sin2x＋π6＋12，∴周期为π，值域为－12，32.【点评】探求三角函数的性质一般要先将三角函数解析式化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，再借助于正弦曲线性质来处理．第6讲│要点热点探究例4已知函数f(x)＝23sinxcosx＋2cos2x－1(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间0，π2上的最大值和最小值；(2)若函数f(x＋φ)为偶函数，且|φ|π2，求角φ的值．第6讲│要点热点探究【解答】(1)由f(x)＝23sinxcos＋2cos2x－1，得f(x)＝3(2sinxcosx)＋(2cos2x－1)＝3sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π6，所以函数f(x)的最小正周期为π因为f(x)＝2sin2x＋π6在区间0，π6上为增函数，在区间π6，π2上为减函数，又f(0)＝1，fπ6＝2，fπ2＝－1，所以函数f(x)在区间0，π2上的最大值为2，最小值为－1.第6讲│要点热点探究(2)由(1)可知f(x＋φ)＝sin2x＋2φ＋π6，且为偶函数，由偶函数的定义可知f(－x＋φ)＝f(x＋φ)，即2sin－2x＋2φ＋π6＝2sin2x＋2φ＋π6，整理得2sin2x·cos2φ＋π6＝0，所以cos2φ＋π6＝0,2φ＋π6＝kπ＋π2，又|φ|π2，所以k＝－1，φ＝－π3，或k＝0，φ＝π6.第6讲│要点热点探究【点评】解决本题注意三点：(1)三角函数式的化简，(2)弄清函数在0，π2上的单调性，(3)本题也可直接用诱导公式转化：因函数f(x＋φ)＝2sin2x＋2φ＋π6为偶函数，则必有2φ＋π6＝kπ＋π2，(k∈Z)；若条件变为“函数f(x＋φ)＝2sin2x＋2φ＋π6为奇函数”，则2φ＋π6＝kπ，(k∈Z)．教师备用题第6讲│教师备用题备选理由：1是由三角函数的图象变换求解析式，用于基础训练；2,3是图象与性质的综合应用，可用于强化训练．1．[2010·四川卷]将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是()A．y＝sin2x－π10B．y＝sin2x－π5C．y＝sin12x－π10D．y＝sin12x－π20第6讲│教师备用题【解析】C将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，所得函数图象的解析式为y＝sinx－π10；再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是y＝sin12x－π10.第6讲│教师备用题2．[2010·广东卷]已知函数f(x)＝Asin(3x＋φ)(A0，x∈(－∞，＋∞))，0φπ在x＝π12时取得最大值4.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的解析式；(3)若f23α＋π12＝125，求sinα第6讲│教师备用题【解答】(1)T＝2π3；(2)由f(x)的最大值是4知，A＝4，f(x)max＝fπ12＝4sin3×π12＋φ＝4，即sinπ4＋φ＝1，∵0φπ，∴π4π4